Question

8．求证：以抛物线y²=2px（p＞0）上的任意不同的四点为顶点的四边形不可能是平行四边形．

Answer 1

分析 假设抛物线上任意不同的四点为顶点的四边形ABCD是平行四边形．设抛物线上的四个点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），运用点满足方程和直线的斜率公式，可得AB，BC，CD，DA的斜率，再由平行线可得斜率相等，进而得到A，C，重合，B，D重合，得到矛盾，即可得证．

解答 证明：假设抛物线上任意不同的四点为顶点的四边形ABCD是平行四边形．
设抛物线上的四个点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
即有y_i²=2px_i，即x_i=$\frac{{{y}_{i}}^{2}}{2p}$（i=1，2，3，4），
于是k_AB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
同理可得k_BC=$\frac{2p}{{y}_{2}+{y}_{3}}$，k_CD=$\frac{2p}{{y}_{3}+{y}_{4}}$，k_AD=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{4}}$，
由假设可得k_AB=k_CD，k_BC=k_AD，从而y₁=y₃，y₂=y₄，
进而可得x₁=x₃，x₂=x₄，于是A，C重合，B，D重合，
这与A，B，C，D为抛物线上不同的四个点矛盾，所以假设不成立．
故抛物线y²=2px（p＞0）上的任意不同的四点为顶点的四边形不可能是平行四边形

点评 本题考查抛物线的方程的运用，考查反证法的运用，以及推理能力，属于中档题．