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    已知矩阵A=
    12
    -14
    ．（1）求A特征值λ1，λ2及对应的特征向量
    α1
    ，
    α2
    ．（2）求A5
    3
    1
    ．
    分析：（1）由特征值的定义f（λ）=|λE-A|=0，解方程即可．解出特征值，求对应的特征向量即求方程组的解．
    （2）将
    3
    1
    用
    2
    1
    和
    1
    1
    表达，由特征向量的性质即可求解．
    解答：解：（1）f(λ)=
    .
    λ-1-2
    1λ-4
    .
    =0?λ1=2，λ2=3    ，
    当λ1=2时，
    x-2y=0
    x-2y=0
    ?
    α1
    =
    2
    1
    ，当λ2=3时，
    2x-2y=0
    x-y=0
    ?
    α2
    =
    1
    1

    （2）令
    3
    1
    =m
    2
    1
    +n
    1
    1
    ，则
    2m+n=3
    m+n=1
    ?
    m=2
    n=-1
    ，A5
    3
    1
    =A5(2
    α1
    -
    α2
    )=2
    λ
    5
    1
    α1
    -
    λ
    5
    2
    α2
    =64
    2
    1
    -35
    1
    1
    =
    -115
    -179
    点评：本题考查矩阵的特征值和特征向量，及特征向量的应用．
    练习册系列答案
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （选做题）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
    A．[选修4-1：几何证明选讲]
    已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与点A，C重合），延长BD至点E．
    求证：AD的延长线平分∠CDE
    B．[选修4-2：矩阵与变换]
    已知矩阵A=
    12
    -14

    （1）求A的逆矩阵A-1；
    （2）求A的特征值和特征向量．
    C．[选修4-4：坐标系与参数方程]
    已知曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为
    x=
    1
    2
    t
    y=
    		3
    2
    t+1
    （t为参数），求直线l被曲线C截得的线段长度．
    D．[选修4-5，不等式选讲]（本小题满分10分）
    设a，b，c均为正实数，求证：
    1
    2a
    +
    1
    2b
    +
    1
    2c
    ≥
    1
    b+c
    +
    1
    c+a
    +
    1
    a+b
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （1）（选修4-2 矩阵与变换）已知矩阵A=
    12
    -14
    ，向量
    α
    =
    7
    4
    ．
    ①求矩阵A的特征值λ1、λ2和特征向量
    α1
    、
    α2
    ；
    ②求A5
    α
    的值．
    （2）选修4-4：坐标系与参数方程求极坐标系中，圆ρ=2上的点到直线ρ(cosθ+
    		3
    sinθ)=6    的距离的最小值．
    （3）选修4-5；不等式选讲知x，y，z为正实数，且
    1
    x
    +
    1
    y
    +
    1
    z
    =1，求x+4y+9z的最小值及取得最小值时x，y，z的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•盐城模拟）已知矩阵A=
    12
    -14
    ，求A的特征值λ1、λ2及对应的特征向量α1、α2．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    选修4-2；矩阵与变换
    已知矩阵A=
    .
    12
    -14
    .
    ，向量a=
    .
    4 
    7 
    .

    （I）求矩阵A的特征值λ1、λ2和特征向量a1、a2；
    （Ⅱ）求A5α的值．

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