Question

【题目】已知椭圆的两个焦点分别为， ，且经过点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）的顶点都在椭圆上，其中关于原点对称，试问能否为正三角形？并说明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 不可能为正三角形，理由见解析.

【解析】试题分析：

(Ⅰ)设椭圆的标准方程为，依题意得，利用椭圆的定义可得，则椭圆的标准方程为.

(Ⅱ)若为正三角形，则且，

显然直线的斜率存在且不为0，设方程为，联立直线方程与椭圆方程可得， ，则，同理可得.据此可得关于实数k的方程，方程无解，则不可能为正三角形.

试题解析：

(Ⅰ)设椭圆的标准方程为，

依题意得，

，

所以， ，

故椭圆的标准方程为.

(Ⅱ)若为正三角形，则且，

显然直线的斜率存在且不为0，

设方程为，

则的方程为，联立方程，

解得， ，

所以，

同理可得.

又，所以，

化简得无实数解，

所以不可能为正三角形.