Question

已知A，B，C三点不共线，点O是平面ABC外一点，则在下列条件中，能得到点M与A，B，C一定共面的一个条件为

④

． （填序号）
①

OM

=

1

2

OA

+

1

2

OB

+

1

2

OC

；②

OM

=2

OA

-

OB

-

OC

；
③

OM

=

OA

+

OB

+

OC

；④

OM

=

1

3

OA

-

1

3

OB

+

OC

．

Answer 1

分析：由题意，可由四点共面的向量表示的条件对四个条件进行判断，判断标准是验证

OA

，

OB

，

OC

三个向量的系数和是否为1，若为1则说明四点M，A，B，C一定共面，由此规则即可找出正确的条件．

解答：解：由题意A，B，C三点不共线，点O是平面ABC外一点，
对于①由于向量的系数和是

3

2

，不是1，故此条件不能保证点M在面A，B，C上；
对于②，等号右边三个向量的系数和为0，不满足四点共面的条件，故不能得到点M与A，B，C一定共面
对于③，等号右边三个向量的系数和为3，不满足四点共面的条件，故不能得到点M与A，B，C一定共面
对于④，等号右边三个向量的系数和为1，满足四点共面的条件，故能得到点M与A，B，C一定共面
综上知，能得到点M与A，B，C一定共面的一个条件为④
故答案为④

点评：本题考查平面向量的基本定理，利用向量判断四点共面的条件，解题的关键是熟练记忆四点共面的条件，利用它对四个条件进行判断得出正确答案，本题考查向量的基本概念，要熟练记忆．