Question

（2012•潍坊二模）已知向量

a

=（Asinωx，Acosωx），

b

=（cosθ，sinθ），f（x）=

a

•

b

+1，其中A＞0、ω＞0、θ为锐角．f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为

π

2

，且当x=

π

12

时，f（x）取得最大值3．
（I）求f（x）的解析式；  
（II）将f（x）的图象先向下平移1个单位，再向左平移?（?＞0）个单位得g（x）的图象，若g（x）为奇函数，求?的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知可得f（x）=Asin（ωx+θ）+1，再由f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为

π

2

，且当x=

π

12

时，f（x）取得最大值3，可解A，w，θ；
（II）先由图象变换的规律解得g（x）的解析式，再由奇函数的性质得g（0）=0可求?的最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵

a

=（Asinωx，Acosωx），

b

=（cosθ，sinθ），
∴f（x）=

a

•

b

+1=Asinωxcosθ+Acosωxsinθ+1
=Asin（ωx+θ）+1，
因为f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为

π

2

，且当x=

π

12

时，f（x）取得最大值3．
所以A=2，T=

2π

w

=π，解得ω=2，故f（x）=2sin（2x+θ）+1，
由f（

π

12

）=2sin（2×

π

12

+θ）+1=3，解得θ=

π

3

．
故f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x+

π

3

）+1
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：将f（x）的图象先向下平移1个单位得函数y=2sin（2x+

π

3

）的图象，
再向左平移?（?＞0）个单位得g（x）的图象，则g（x）=2sin[2（x+?）+

π

3

]，若g（x）为奇函数，
则g（0）=2sin（2?+

π

3

），即2?+

π

3

=kπ，（k∈Z），又?＞0，故?的最小值为

π

3

点评：本题为向量与三角函数的综合应用，涉及数量积和图象的变换以及奇函数的特点，属中档题．