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【题目】已知椭圆的左顶点为,右焦点为,直线轴相交于点,且的中点.

(Ⅰ)求椭圆的离心率;

(Ⅱ)过点的直线与椭圆相交于两点,都在轴上方,并且之间,且到直线的距离是到直线距离的倍.

①记的面积分别为,求

②若原点到直线的距离为,求椭圆方程.

【答案】1;(2

【解析】

试题本题以直线与椭圆的位置关系为背景.第(1)小题设计为求椭圆的离心率,只需利用条件的中点,可得,从而得.第(2)小题中第题求,需要用等积法进行转化,即.第题求椭圆方程,设直线方程为.注意到,和原点到直线的距离为,从而可以确定的值.

试题解析:(1)因为的中点,所以,即,又

所以,所以

2解法一:过作直线的垂线,垂足分别为,依题意,

,故,故的中点,

中点,

解法二:,椭圆方程为

,点在椭圆上,即有

同理

,故的中点,

中点,

解法一:设,则椭圆方程为

的中点,不妨设,则

都在椭圆上,即有

两式相减得:,解得

可得,故直线的斜率为

直线的方程为,即

原点到直线的距离为

依题意,解得,故椭圆方程为

解法二:设,则椭圆方程为

的中点,故

直线的斜率显然存在,不妨设为,故其方程为,与椭圆联立,并消去得:,整理得:,(*

,依题意: ]

解得:

所以,解之得:,即

直线的方程为,即

原点到直线的距离为

依题意,解得,故椭圆方程为

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摸出的结果

获得奖金(单位:元)

4个白球或4个黑球

200

3个白球1个黑球或3个黑球1个白球

20

2个黑球2个白球

10

为抽奖一次获得的奖金,求的分布列和期望.

(Ⅱ)乙商场的规则是:凡购物满100元,可抽奖10.其中,第次抽奖方法是:从编号为的袋中(装有大小、形状相同的个白球和个黑球)摸出个球,若该次摸出的个球颜色都相同,则可获得奖金元;记第次获奖概率.设各次摸奖的结果互不影响,最终所获得的总奖金为10次奖金之和.

①求证:

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