Question

2．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，∠DAB=60°，AB∥CD，AD=CD=2AB=2，PD⊥底面ABCD，M为PC的中点．
（Ⅰ）证明：BD⊥PC；
（Ⅱ）若PD=$\sqrt{2}$，求二面角D-BM-P的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用线面垂直的判定定理，先证明BD⊥底面PDC，然后利用线面垂直的性质证明：BD⊥PC；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的大小．

解答 （Ⅰ）证明：由余弦定理得BD=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}-2×1×2cos60°}$=$\sqrt{3}$，
∴BD²+AB²=AD²，∴∠ABD=90°，BD⊥AB，
∵AB∥CD，∴BD⊥DC，
∵PD⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，
∴BD⊥PD，
又PD∩DC=D，
∴BD⊥底面PDC，
又PC?面PDC，
∴BD⊥PC；
（Ⅱ）解：已知AB=1，AD=CD=2，PD=$\sqrt{2}$，由（Ⅰ）知BD⊥底面PDC，
以D为坐标原点，DB为x轴，建立空间直角坐标系D-xyz，如图：
则D（0，0，0），B（$\sqrt{3}$，0，0），P（0，0，$\sqrt{2}$），M（0，1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
则$\overrightarrow{DB}$=（$\sqrt{3}$，0，0），$\overrightarrow{DM}$=（0，1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{CP}$=（0，-2，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{CB}$=（$\sqrt{3}$，-2，0），
设平面BDM的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DN}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y+\frac{\sqrt{2}}{2}z=0}\end{array}\right.$，令z=$\sqrt{2}$，则y=-2，可取向量$\overrightarrow{m}$=（0，-1，$\sqrt{2}$），
同理设平面BMP的法向量为$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=0}\end{array}\right.$，
可得$\overrightarrow{n}$=（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，1，$\sqrt{2}$），
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}×\sqrt{\frac{13}{3}}}=\frac{\sqrt{13}}{3}$，
∴二面角D-BM-P的余弦值为$\frac{\sqrt{13}}{3}$．

点评 本题主要考查线面垂直的性质，以及空间二面角的大小，利用向量法是解决空间角的基本方法，是中档题．