Question

已知三点A（-2-a,0）,P(-2-a,t),F(a,0),其中a为大于零的常数，t为变数，平面内动点M满足·=0，且||=||+2.

（1）求动点M的轨迹;

（2）若动点M的轨迹在x轴上方的部分与圆心在C(a+4,0),半径为4的圆相交于两点S、T，求证：C落在以S、T为焦点过F的椭圆上.

Answer 1

解析：（1）∵·=0,

∴⊥.

又||=||+2，

∴M在以F为焦点,以x=-a为准线的抛物线上.

∴动点M的轨迹方程为y²=4ax.

(2)过S、T分别作准线x=-a的垂线，垂足分别为S₁、T₁，设S（x₁,y₁）,T(x₂,y₂),则|SF|+|TF|=|SS₁|+|TT₁|=x₁+x₂+2a.

由

消去y整理，得x²+(2a-8)x+a(a+8)=0，

∴x₁+x₂=8-2a.

∴|SF|+|TF|=8，

即|SF|+|TF|=|CS|+|CT|.

∴C落在以S、T为焦点，且过点F的椭圆上.