Question

11．已知抛物线y²=2px（p＞0）上一点M（1，m）到其焦点的距离为5，双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{25}$=1（a＞0）的左顶点为A，若该双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a=5．

Answer 1

分析 利用抛物线的定义求出抛物线的方程，利用双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，建立方程，即可求出a的值．

解答 解：∵抛物线y²=2px（p＞0）上一点M（1，m）到其焦点的距离为5，
∴1+$\frac{p}{2}$=5，
∴p=8，
∴y²=16x，∴m=±4．
取M（1，4），双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{25}$=1（a＞0）的左顶点为A（a，0），直线AM的斜率为$\frac{4}{1-a}$
∵该双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，
∴$\frac{5}{a}$×$\frac{4}{1-a}$=-1
∵a＞0，∴a=5．
故答案为：5．

点评 本题考查抛物线的定义域方程，考查双曲线的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．