Question

【题目】定义在R上的函数f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=4（1﹣|x﹣1|），且对于任意实数x∈[2n﹣2，2n+1﹣2]（n∈N* ， n≥2），都有f（x）= f（ ﹣1）．若g（x）=f（x）﹣logax有且只有三个零点，则a的取值范围是（ ）
A.[2，10]
B.[ ， ]
C.（2，10）
D.[2，10）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：当x∈[0，2]时，f（x）=4（1﹣|x﹣1|）， 当n=2时，x∈[2，6]，此时 ﹣1∈[0，2]，则f（x）= f（ ﹣1）= ×4（1﹣| ﹣1﹣1|）=2（1﹣| ﹣2|），
当n=3时，x∈[6，14]，此时 ﹣1∈[2，6]，则f（x）= f（ ﹣1）= ×2（1﹣| ﹣ |）=1﹣| ﹣ |，
由g（x）=f（x）﹣logax=0，得f（x）=logax，分别作出函数f（x）和y=logax的图象，

若0＜a＜1，则此时两个函数图象只有1个交点，不满足条件．
若a＞1，当对数函数图象经过A时，两个图象只有2个交点，当图象经过点B时，两个函数有4个交点，
则要使两个函数有3个交点，则对数函数图象必须在A点以下，B点以上，
∵f（4）=2，f（10）=1，∴A（4，2），B（10，1），
即满足 ，
即 ，解得 ，
即2＜a＜10，
故选：C．
由g（x）=f（x）﹣logax=0，得f（x）=logax，分别作出函数f（x）和y=logax的图象，利用数形结合即可得到结论．