Question

已知线段AB过y轴上一点P（0，m）（m＞0），斜率为k，两端点A，B到y轴距离之差为4k（k＞0），
（1）求以O为顶点，y轴为对称轴，且过A，B两点的抛物线方程；
（2）设Q为抛物线准线上任意一点，过Q作抛物线的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线MN过一定点．

Answer 1

分析：（1）设AB的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x2=2py  y=kx+m

，得x²-2pkx-2pm=0，利用韦达定理能求出p，从而求出抛物线方程．
（2）设M（x₁，

x 2 1

4

），N（x₂，

x 2 2

4

），Q（x₀，-1），由k_MQ=

x1

2

，知x₁²-2x₁x+4y=0．由此能推导出直线MN过点（0，1）．

解答：解：（1）设AB的方程为y=kx+m，过A，B两点的抛物线方程x²=2py，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则由

x2=2py  y=kx+m

，可得x²-2pkx-2pm=0．（2分）
∴x₁+x₂=2pk，
又依题意有|x₁+x₂|=4k=2pk，
∴p=2．
∴抛物线方程为x²=4y．（6分）
（2）设M（x1，

x 2 1

4

），N（x2，

x 2 2

4

），Q（x₀，-1），
∵k_MQ=

x1

2

，
∴MQ的方程为y-

x 2 1

4

=

x1

2

（x-x1），
∴x₁²-2x₁x+4y=0．（8分）
∵MQ过Q，∴x₁²-2x₁x₀-4=0，
同理x₂²-2x₂x₀-4=0，
∴x₁，x₂为方程x²-2x₀x-4=0的两个根，
∴x₁x₂=-4．（10分）
又k_MN=

x1+x2

4

，
∴MN的方程为y-

x 2 1

4

=

x1+x2

4

（x-x₁）
∴y=

x1+x2

4

x+1，
所以直线MN过点（0，1）．（12分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．