Question

【题目】如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A．

（1）求实数b的值；
（2）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 得x2﹣4x﹣4b=0，①

因为直线l与抛物线C相切，所以△=（﹣4）2﹣4×（﹣4b）=0，

解得b=﹣1

（2）解：由（1）可知b=﹣1，故方程①即为x2﹣4x+4=0，解得x=2，代入x2=4y，得y=1．

故点A（2，1），

因为圆A与抛物线C的准线相切，

所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=﹣1的距离，即r=|1﹣（﹣1）|=2，

所以圆A的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．

【解析】（1）由题意，联立方程组，根据判别式从而求实数b的值；（2）求出点A的坐标，因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=﹣1的距离，问题得以解决．