Question

（2013•温州一模）椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)长轴上的两个顶点A、B，点P为椭圆M上除A、B外的一个动点，若

QA

•

PA

=0且

QB

•

PB

=0，则动点Q在下列哪种曲线上（　　）

A．圆

B．椭圆

C．双曲线

D．抛物线

Answer 1

分析：根据椭圆方程算出A（-a，0），B（a，0）．设P（m，n），Q（x，y），可得

QA

、

PA

关于m、n、x、y的坐标形式，由

QA

•

PA

=0建立关系式，化简得m+a=-

ny

x+a

，同理由

QB

•

PB

=0建立关系式，得m-a=-

ny

x-a

，再将所得的两个式子对应相乘，结合点P（m，n）是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1上的点，化简得

x2

a2

+

y2

a4 b2

=1，即为动点Q的轨迹方程，可得本题答案．

解答：解：设P（m，n），Q（x，y）
∵椭圆M的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∴作出椭圆如图所示，可得长轴的端点为A（-a，0），B（a，0）
∴

QA

=（x+a，y），

PA

=（m+a，n）
∵

QA

•

PA

=0，∴（x+a）（m+a）+ny=0，可得m+a=-

ny

x+a

…①
同理根据

QB

•

PB

=0，可得m-a=-

ny

x-a

…②
①×②，可得m²-a²=

n2y2

x2-a2

．…③
∵点P（m，n）是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1上的动点，
∴

m2

a2

+

n2

b2

=1，整理得n²=

b2

a2

（a²-m²），
代入③可得：m²-a²=

b2

a2

（a²-m²）•

y2

x2-a2

，化简得

x2

a2

+

y2

a4 b2

=1
此方程对应的图形是焦点在y轴上的椭圆，可得动点Q的轨迹是一个椭圆，B项是正确答案
故选：B

点评：本题给出椭圆的长轴为AB，椭圆上的动点P满足若

QA

•

PA

=0且

QB

•

PB

=0，求动点Q的轨迹方程，着重考查了椭圆的简单几何性质、向量数量积的计算公式和动点轨迹方程的求法等知识，属于中档题．