Question

【题目】已知D（x0 ， y0）为圆O：x2+y2=12上一点，E（x0 ， 0），动点P满足 = + ，设动点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若动直线l：y=kx+m与曲线C相切，过点A1（﹣2，0），A2（2，0）分别作A1M⊥l于M，A2N⊥l于N，垂足分别是M，N，问四边形A1MNA2的面积是否存在最值？若存在，请求出最值及此时k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意设P（x，y），则 = + （x0，0）= ．

∴ ，y= ，解得x0= x，y0=2y，

又 + =12，代入可得：3x2+4y2=12，化为： =1．

（2）

联立 ，可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，

△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）=48（3+4k2﹣m2）=0，

可得：m2=3+4k2．A1（﹣2，0）到l的距离d1= ，

A2（2，0）到l的距离d2= ，

则|MN|2= ﹣ =16﹣[ + ﹣ ]

=16﹣ =16﹣ =16﹣ = ．

= + + = = ．

∴四边形A1MNA2的面积S= = =4 =4 ≤4 ．

当k=0时，取等号．

【解析】（1）由题意设P（x，y），则 = + （x0 ， 0）= ．可得 ，y= ，解得x0= x，y0=2y，又 + =12，代入圆的方程即可得出．（2）联立 ，可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，△=0，可得：m2=3+4k2 ． A1（﹣2，0）到l的距离d1= ，A2（2，0）到l的距离d2= ，可得|MN|2= ﹣ = . = ．可得四边形A1MNA2的面积S= ，利用二次函数的单调性即可得出．