Question

关于函数f(x)=4sin(2x+

π

3

)，(x∈R)有下列命题：
①由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整数倍；
②f（x）的表达式可改写为f(x)=4cos(2x-

π

6

)；
③f（x）的图象关于点(-

π

6

，0)对称；
④f（x）的图象关于直线x=

π

3

对称；
⑤f（x）在区间(-

π

3

，

π

12

)上是增函数；其中正确的是

 

．（请将所有正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析：通过举反例，当x₁=-

π

6

，x₂=

π

3

时，f（x₁）=f（x₂）=0，说明①不正确．
由诱导公式可得②是正确的．
由x=-

π

6

 时，f（x）=0，故点(-

π

6

，0)是f（x）与x轴的交点，故③正确．
由 当 x=

π

3

时，f(x)=4sin(2x+

π

3

)=0，不是最值可得④是错误的．
 由   2kπ-

π

2

≤(2x+

π

3

)≤2kπ+

π

2

 得，解得x的范围即是增区间，可得⑤正确．

解答：解：∵f(x)=4sin(2x+

π

3

)，(x∈R)的周期为π，
当x₁=-

π

6

，x₂=

π

3

时，f（x₁）=f（x₂）=0，x₁-x₂ =

π

2

≠kπ，k∈z，故①是错误的．
∵由诱导公式可得f(x)=4sin(2x+

π

3

)=4cos（

π

2

-2x-

π

3

 ）=4cos（

π

6

-2x）=4cos（2x-

π

6

），故 ②正确．
∵当 x=-

π

6

 时，f（x）=0，故点(-

π

6

，0)是f（x）与x轴的交点，故是对称点，故③正确．
∵当 x=

π

3

时，f(x)=4sin(2x+

π

3

)=0，不是f（x）的最值，故④是错误的．
由   2kπ-

π

2

≤(2x+

π

3

)≤2kπ+

π

2

 得，kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈z，故⑤正确．
综上，②③⑤正确，①④不正确，
答案为 ②③⑤．

点评：本题考查正弦函数的对称性、单调性、周期性，诱导公式的应用，熟记正弦函数的性质是解题的关键．