Question

2．已知数列{an}满足a₁=3，a_n+a_n+2=2a_n+1，其前n项和记为S_n，等比数列{b_n}的各项均为正数，b₂=3，公比为q，且b₃+S₃=27，b₃=a₃
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}满足c_n=b_n+$\frac{1}{{S}_{n}}$，求{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过a₁=3、a_n+a_n+2=2a_n+1可得数列{an}为等差数列，利用b₃+S₃=27、b₃=a₃，直接计算即可；
（2）通过S_n=$\frac{n（3+3n）}{2}$，分离分母、并项相加即得结论．

解答 解：（1）∵a₁=3，a_n+a_n+2=2a_n+1，
∴数列{an}为等差数列，
设其公差为d，则a₃=3+2d，S₃=3a₁+3d=9+3d，
∵等比数列{b_n}的各项均为正数，b₂=3，公比为q，
∴b₃=b₂q=3q，
又∵b₃+S₃=27，b₃=a₃，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3q+9+3d=27}\\{3q=3+2d}\end{array}\right.$，
∴d=3，q=3，
∴数列{a_n}的通项a_n=a₁+（n-1）d=3+3（n-1）=3n，
数列{b_n}的通项b_n=${b}_{1}{q}^{n-1}$=$\frac{{b}_{2}}{q}•{q}^{n-1}$=3^n-1；
（2）∵S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=$\frac{n（3+3n）}{2}$，
∴c_n=b_n+$\frac{1}{{S}_{n}}$=3^n-1+$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{n（n+1）}$=3^n-1+$\frac{2}{3}$•（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$+$\frac{2}{3}$•（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{2}$•3ⁿ+$\frac{1}{6}$-$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{n+1}$．

点评 本题考查求数列的通项及求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．