Question

设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x＜0时，f'（x）g（x）+f（x）g'（x）＞0，且g（-3）=0，则不等式

f(x)

g(x)

＞0的解集是（　　）

A．（-3，0）∪（3，+∞）

B．（-3，0）∪（0，3）

C．（-∞，-3）∪（3，+∞）

D．（-∞，-3）∪（0，3）

Answer 1

分析：令F（x）=f（x）•g（x），则F′（x）＞0，

解答：解：设F（x）=f （x）g（x），
当x＜0时，?∵F′（x）=f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0，
∴F（x）在（-∞，0）上为增函数；
∵F（-x）=f （-x）g （-x）=-f （x）•g （x）=-F（x），?
∴F（x）为R上的奇函数，故F（x）在R上亦为增函数．?
∵g（-3）=0，必有F（-3）=F（3）=0．?
构造如图的F（x）=f （x）g（x）的图象，

可知F（x）＞0的解集为（-3，0）∪（3，+∞）．
∵

f(x)

g(x)

＞0?

f(x)•g(x)

g2(x)

＞0?F（x）＞0，
∴

f(x)

g(x)

＞0的解集就是F（x）＞0的解集（-3，0）∪（3，+∞）．
故选A．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查构造函数思想与数形结合思想及等价转化思想的综合运用，考查推理分析与作图运算的能力，属于中档题．