Question

已知与曲线C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直线l与x轴、y轴的正半轴交于两点A、B；O为原点，|OA|=a，|OB|=b（a＞2，b＞2）．
（1）求证：曲线C与直线l相切的条件是（a-2）（b-2）=2；
（2）求△AOB面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）由|OA|=a，|OB|=b设出直线l的截距式方程，把曲线C方程配方后可知曲线C为圆，找出圆心坐标与半径，因为直线l与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，利用点到直线的距离公式列出a和b的关系式，化简后即可得证；
（2）因为a与b都大于2，且三角形AOB为直线三角形，要求面积的最小值即要求ab的最小值，根据（1）中直线l与圆相切的条件（a-2）（b-2）=2解出ab，然后利用基本不等式即可求出ab最小时当且经当a与b相等，求出此时的a与b即可求出面积的最小值．

解答：解：（1）证明：直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0．
曲线C的方程可化为（x-1）²+（y-1）²=1，
所以曲线C为圆．
圆心到直线l的距离d=

|b+a-ab|

a2+b2

，
当d=1时，直线与圆相切，
即

|b+a-ab|

a2+b2

=1，整理得（a-2）（b-2）=2，
所以曲线C与直线l相切的条件是：（a-2）（b-2）=2．
（2）由（1）得到（a-2）（b-2）=2且a＞2，b＞2，
则ab=2（a+b）-2≥4

ab

-2，当且仅当a=b时等号成立，
所以当a=b时，ab最小即三角形的面积最小，则三角形AOB为等腰直角三角形
则AB=2（

2

+1），所以a=b=

2 ( 2 +1)

2

=

2

+2，三角形的面积S=

1

2

(

2

+2)2=3+2

2

所以△AOB的面积的最小值为：3+2

2

．

点评：此题考查直线与圆相切时所满足的条件，解题的关键是灵活运用点到直线的距离公式化简求值，利用基本不等式求函数的最值，是一道中档题．