Question

18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=2AC=8，作△ABC外接圆O的切线CD，作BD⊥CD于D，交圆O于点E，给出下列四个结论：①∠BCD=60°；②DE=2；③BC²=BD•BA；④CE∥AB；则其中正确的序号是①②③④．

Answer 1

分析 利用直角△ABC的边角关系即可得出BC，利用弦切角定理可得∠BCD=∠A=60°．利用直角△BCD的边角关系即可得出CD，BD．再利用切割线定理可得CD²=DE•DB，即可得出DE．利用△ACB∽△CDB，可得BC²=BD•BA；证明∠BCE=∠ABC，可得CE∥AB

解答 解：在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=8，∴BC=AB•sin60°=4$\sqrt{3}$．
∵CD是此圆的切线，∴∠BCD=∠A=60°，即①正确．
在Rt△BCD中，CD=BC•cos60°=2$\sqrt{3}$，BD=BC•sin60°=6．
由切割线定理可得CD²=DE•DB，∴12=6DE，解得DE=2，即②正确．
∵∠BCD=∠A，∠D=∠ACB，∴△ACB∽△CDB，∴CB：DB=AB：CB，∴BC²=BD•BA，即③正确；
④∵∠ECD=∠ABC=30°，∠BCD=60°，∴∠BCE=30°=∠ABC，∴CE∥AB，即④正确；
故答案为：①②③④．

点评 熟练掌握直角三角形的边角关系、弦切角定理、切割线定理是解题的关键．