【题目】已知椭圆C: (a>b>0)的左焦点为F(﹣2,0),离心率为 . (Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)设O为坐标原点,T为直线x=﹣3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P、Q,当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积.
【答案】解:(Ⅰ)由题意可得 , 解得c=2,a= ,b= .
∴椭圆C的标准方程为 ;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得F(﹣2,0),
设T(﹣3,m),则直线TF的斜率 ,
∵TF⊥PQ,可得直线PQ的方程为x=my﹣2.
设P(x1 , y1),Q(x2 , y2).
联立 ,化为(m2+3)y2﹣4my﹣2=0,
△>0,∴y1+y2= ,y1y2= .
∴x1+x2=m(y1+y2)﹣4= .
∵四边形OPTQ是平行四边形,
∴ ,∴(x1 , y1)=(﹣3﹣x2 , m﹣y2),
∴ ,解得m=±1.
此时四边形OPTQ的面积S= ═ = .
【解析】(Ⅰ)由题意可得 ,解出即可;(Ⅱ)由(Ⅰ)可得F(﹣2,0),设T(﹣3,m),可得直线TF的斜率kTF=﹣m,由于TF⊥PQ,可得直线PQ的方程为x=my﹣2.设P(x1 , y1),Q(x2 , y2).直线方程与椭圆方程可得根与系数的关系.由于四边形OPTQ是平行四边形,可得 ,即可解得m.此时四边形OPTQ的面积S= .
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【题目】已知函数f(x)=2x﹣1+a,g(x)=bf(1﹣x),其中a,b∈R,若关于x的不等式f(x)≥g(x)的解的最小值为2,则实数a的取值范围是 .
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【题目】设全集U={1,2,3,4,5},集合A={2,3,4},B={2,5},则B∪(UA)=( )
A.{5}
B.{1,2,5}
C.{1,2,3,4,5}
D.
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【题目】如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面ABB1A1 , ACC1A1均为正方形,∠BAC=90°,点D是棱B1C1的中点.请建立适当的坐标系,求解下列问题: (Ⅰ)求证:异面直线A1D与BC互相垂直;
(Ⅱ)求二面角(钝角)D﹣A1C﹣A的余弦值.
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【题目】经市场调查,东方百货超市的一种商品在过去的一个月内(以30天计算),销售价格f(t)与时间(天)的函数关系近似满足 ,销售量g(t)与时间(天)的函数关系近似满足g(t)= .
(1)试写出该商品的日销售金额W(t)关于时间t(1≤t≤30,t∈N)的函数表达式;
(2)求该商品的日销售金额W(t)的最大值与最小值.
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【题目】若函数 在 内任取两个实数p,q,且p≠q,不等式 恒成立,则a的取值范围是( )
A.[﹣1,0]
B.[﹣1,+∞)
C.[0,3]
D.[3,+∞)
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【题目】如图线段AB过x轴正半轴上一定点M(m,0),端点A、B到x轴距离之积为2m,以x轴为对称轴,过A,O,B三点作抛物线.
(1)求抛物线方程;
(2)若 =﹣1,求m的值.
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【题目】已知向量 =(cosx,sinx), =(3,﹣ ),x∈[0,π]
(1)若 ∥ ,求x的值;
(2)记f(x)= ,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
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