Question

已知函数f（x）=log₂x．
（1）若f（x）的反函数是f^-1（x），解方程：f^-1（2x+1）=3f^-1（x）-1；
（2）当x∈（3m，3m+3]（m∈N）时，定义g（x）=f（x-3m）．设a_n=n•g（n），数列{a_n}的前n项和为S_n，求a₁、a₂、a₃、a₄和S_3n；
（3）对于任意a、b、c∈[M，+∞），且a≥b≥c．当a、b、c能作为一个三角形的三边长时，f（a）、f（b）、f（c）也总能作为某个三角形的三边长，试探究M的最小值．

Answer 1

分析：（1）由题设知g(x)=

1

2

(2x-1)(x∈R)，g（2x）=3g（x）+6，

1

2

(22x-1)=3•

1

2

(2x-1)+6，
由此能求出原方程的解为x=log₂5．
（2）若1∈（3m，3m+3]，m=0，能导出a₁=0；若2∈（3m，3m+3]，m=0，能导出a₂=2；若3∈（3m，3m+3]，m=0，能导出a₃=3log₂3；若4∈（3m，3m+3]，m=1，能导出a₄=0；当n=3m+1（m∈N）时，能导出a_n=0；当n=3m+2（m∈N）时，能导出a_n=n；当n=3m+3（m∈N）时，能导出a_n=nlog₂3．由此能求出S_3n．
（3）由题意知，c+b＞a，若f（a），f（b），f（c）能作为某个三角形的三边长?log₂c+log₂b＞log₂a?bc＞a，bc≥b+c?（b-1）（c-1）≥1．当b≥2，c≥2时，有（b-1）（c-1）≥1成立，则一定有bc＞a成立．由此能够导出M的最小值为2．

解答：解：（1）∵函数y=g（x）是函数y=f（2x+1）的反函数，f（x）=log₂x
∴g(x)=

1

2

(2x-1)(x∈R)，而g（2x）=3g（x）+6
∴

1

2

(22x-1)=3•

1

2

(2x-1)+6，
即2^2x-3•2^x-10=0（2分）（2^x+2）•（2^x-5）=0，∴2^x=5
故：原方程的解为x=log₂5（2分）
（2）若1∈（3m，3m+3]，∴m=0，∴φ（1）=f（1）=0，∴a₁=1×0=0
若2∈（3m，3m+3]，∴m=0，∴φ（2）=f（2）=1，∴a₂=2×1=2
若3∈（3m，3m+3]，∴m=0，∴φ（3）=f（3）=log₂3，∴a₃=3log₂3
若4∈（3m，3m+3]，∴m=1，∴φ（4）=f（1）=0，∴a₄=4×0=0（2分）
当n=3m+1（m∈N）时，φ（n）=f（n-3m）=f（1）=0，∴a_n=n×0=0
当n=3m+2（m∈N）时，φ（n）=f（n-3m）=f（2）=1，∴a_n=n×1=n
当n=3m+3（m∈N）时，φ（n）=f（n-3m）=f（3）=log₂3，∴a_n=nlog₂3（2分）S_3n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_3n
=1×0+2×1+3×log₂3+4×0+5×1+…+3nlog₂3
=（2+5+8+…+3n-1）×1+（3+6+9+…+3n）log₂3
=

2+3n-1

2

×n+

3+3n

2

×n×log23
=

n

2

[3n+1+(3n+3)log23]（2分）
（3）由题意知，c+b＞a
∵f（a），f（b），f（c）能作为某个三角形的三边长，
∴log₂c+log₂b＞log₂a，
∴bc＞a（2分）
∵bc≥b+c，
∴（b-1）（c-1）≥1
当b≥2，c≥2时，有（b-1）（c-1）≥1成立，则一定有bc＞a成立．（2分）
∵log₂c＞0，
∴c＞1，即0＜M≤1不合题意．（2分）
又当1＜M＜2时，取b=M，c=M，a=M²，有M+M＞M²，即b+c＞a，
此时a，b，c可作为一个三角形的三边长，但log₂M+log₂M=2log₂M=log₂M²，
即f（b）+f（c）=f（a），所以f（a）、f（b）、f（c）不能作为三角形的三边长．
综上所述，M的最小值为2．（2分）
解法2：a≥b≥c，由题意知，b+c＞a
∵f（a），f（b），f（c）能作为某个三角形的三边长
∴log₂b+log₂c＞log₂a，
∴bc＞a
设a=c+p₁，b=c+p₂p₁≥p₂≥0
∵p₁=0?p₂=0，
∴a=b=c＞1，f（a），f（b），f（c）显然能作为某个三角形三边长
若p₁≠0，由（1）知c＞p₁-p₂．
由（2）知bc＞a，
∴c＞

a

b

=

c+p1

c+p2

=1+

p1-p2

c+p2

而c+p₂＞p₁，则0≤

p1-p2

c+p2

≤

p1-p2

p1

?1≤

p1-p2

c+p2

＜1+

p1-p2

p1

=2-

p2

p1

≤2
故：c≥2．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．