Question

已知定义在上的函数，最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为，函数图象所有对称中心都在图象的对称轴上.
（1）求的表达式；
（2）若，求的值；
（3）设，，，若恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）（2）（3）

（1）由已知中已知定义在R上的函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|≤)，最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为π，我们易计算出A值，及最小正周期，进而求出ω值，再由函数图象所有的对称中心都在y=f（x）图象的对称轴上，求出φ值，即可得到f（x）的表达式；
（2）由，结合（1）中所求的函数解析式，可得，
进而求出的值，然后根据两角差的余弦公式，即可求出答案．
（3）由 ,恒成立，可以转化为函数恒成立问题，构造函数，求出其最值，即可得到答案．
解：(1)依题意可知：，
与f(x)相差，即相差，
所以或
（舍），
故.                 ……………………4分
（2）因为，即，
因为，又，y=cosx在单调递增，
所以，所以，
于是
 ………9分
（3）因为，，
，
于是，得对于恒成立，
因为，故.        ………………14分