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    【题目】在三棱锥中，是正三角形，面面，，，、分别是、的中点．

    （1）证明：；

    （2）求二面角的余弦值．

    【答案】（1）见解析；（2）.

    【解析】

    （1）取的中点，连接、，由等腰三角形三线合一的性质得出且，利用直线与平面垂直的判定定理可证明出面，从而得出；

    （2）利用面面垂直的性质定理证明出平面，以为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量法计算出二面角的余弦值．

    （1）取的中点，连接、，

    ，，且．

    又，面，又面，；

    （2）由面面，平面平面，，平面，可得面.

    故以为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，

    建立如图所示空间直角坐标系：则，，， ，.

    ，，设为平面EFC的一个法向量

    由，取，则，． .

    又为面的一个法向量，由

    如图知二面角的余弦值为.

    练习册系列答案
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    （1）现将参赛选手按成绩由好到差编为1～25号，再用系统抽样方法从中选取5人，已知选手甲的成绩为145分钟，若甲被选取，求被选取的其余4名选手的成绩的平均数；

    （2）若从总体中选取一个样本，使得该样本的平均水平与总体相同，且样本的方差不大于7，则称选取的样本具有集中代表性，试从总体（25名参赛选手的成绩）选取一个具有集中代表性且样本容量为5的样本，并求该样本的方差．

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    （1）求直线的极坐标方程和曲线的普通方程；

    （2）记射线与交于点，与交于点，求的值.

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    （1）求椭圆的离心率；

    （2）已知直线过点，且与椭圆交于另一点（不同于点），若以为直径的圆经过点，求直线的方程.

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    方案一：顾客先回答一道多选题，从第二道开始都回答单选题；

    方案二：顾客全部选择单选题进行回答；

    其中每道单选题答对得2分，每道多选题答对得3分，无论单选题还是多选题答错都得0分，每名参与的顾客至多答题3道.在答题过程中得到3分或3分以上立刻停止答题，并获得超市回馈的赠品.

    为了调查顾客对方案的选择情况，研究人员调查了参与游戏的500名顾客，所得结果如下表所示：

    14

    0

    1

    2

    3

    5

    6

    6

    6

    6

    8

    9

    15

    0

    2

    3

    4

    5

    5

    5

    7

    9

    16

    0

    0

    5

    6

    7

    男性

    女性

    选择方案一

    150

    80

    选择方案二

    150

    120

    （1）是否有95%的把握认为方案的选择与性别有关？

    （2）小明回答每道单选题的正确率为0.8，多选题的正确率为0.75,.

    ①若小明选择方案一，记小明的得分为，求的分布列及期望；

    ②如果你是小明，你觉得选择哪种方案更有可能获得赠品，请通过计算说明理由.

    附：，

    0.15

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

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    A. B. 5C. 6D. 7

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