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对于定义域为D的函数,若同时满足下列条件:①在D内单调递增或单调递减;②存在区间[],使在[]上的值域为[];那么把)叫闭函数。

(Ⅰ)求闭函数符合条件②的区间[];

(Ⅱ)判断函数是否为闭函数?并说明理由;

(Ⅲ)若是闭函数,求实数的取值范围。

解:(Ⅰ)由题意,在[]上递减,

         则     

      解得…………3分

所以,所求的区间为[-1,1]         ………………………4分

(Ⅱ)

解:取

不是上的减函数。…………6分

     取

     ,  

不是上的增函数          …………8分

所以,函数在定义域内不单调递增或单调递减,从而该函数不是闭函数。                                                                                                                  ---------9分

(Ⅲ)解:若是闭函数,则存在区间[],

在区间[]上,函数的值域为[],

为方程

的两个实数根,…………10分

即方程有两个不等的实根。

时,有

     解得                  …………12分

时,有,无解          ……13分

    综上所述,                 -----------14分

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

对于定义域为D的函数y=f(x),如果存在区间[m,n]⊆D,同时满足:
①f(x)在[m,n]内是单调函数;
②当定义域是[m,n]时,f(x)的值域也是[m,n].则称[m,n]是该函数的“和谐区间”.
(1)求证:函数y=g(x)=3-
5
x
不存在“和谐区间”.
(2)已知:函数y=
(a2+a)x-1
a2x
(a∈R,a≠0)有“和谐区间”[m,n],当a变化时,求出n-m的最大值.
(3)易知,函数y=x是以任一区间[m,n]为它的“和谐区间”.试再举一例有“和谐区间”的函数,并写出它的一个“和谐区间”.(不需证明,但不能用本题已讨论过的y=x及形如y=
bx+c
ax
的函数为例)

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科目:高中数学 来源: 题型:

对于定义域为D的函数f(x),若存在区间M=[a,b]⊆D(a<b),使得{y|y=f(x),x∈M}=M,则称区间M为函数f(x)的“等值区间”.给出下列三个函数:
f(x)=(
12
)x
;   ②f(x)=x3;    ③f(x)=log2x+1
则存在“等值区间”的函数的个数是
2
2

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科目:高中数学 来源: 题型:

对于定义域为D的函数y=f(x),若同时满足下列条件:①f(x)在D内单调递增或单调递减;②存在区间[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b];那么把y=f(x)(x∈D)叫闭函数.
(1)求闭函数y=-x3符合条件②的区间[a,b];
(2)判断函数f(x)=
3
4
x+
1
x
(x>0)是否为闭函数?并说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•崇明县一模)定义:对于定义域为D的函数f(x),如果存在t∈D,使得f(t+1)=f(t)+f(1)成立,称函数f(x)在D上是“T”函数.已知下列函数:
①f(x)=
1x
; 
②f(x)=log2(x2+2);
③f(x)=2x(x∈(0,+∞)); 
④f(x)=cosπx(x∈[0,1]),其中属于“T”函数的序号是
.(写出所有满足要求的函数的序号)

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科目:高中数学 来源: 题型:

对于定义域为D的函数f(x),若同时满足下列条件:①f(x)在D内有单调性;②存在区间[a,b]⊆D,使f(x)在区间[a,b]上的值域也为[a,b],则称f(x)为D上的“和谐”函数,[a,b]为函数f(x)的“和谐”区间.
(Ⅰ)求“和谐”函数y=x3符合条件的“和谐”区间;
(Ⅱ)判断函数f(x)=x+
4
x
(x>0)
是否为“和谐”函数?并说明理由.
(Ⅲ)若函数g(x)=
x+4
+m
是“和谐”函数,求实数m的取值范围.

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