分析 (1)由弦切角定理推导出△PAB~△PCA,由此能证明$\frac{AB}{AC}=\frac{PA}{PC}$.
(2)由切割线定理得PA2=PB•PC,由AE是∠BAC的角平分线,得△AEC~△ABD,由此能求出AD•AE的值.
解答 证明:(1)∵PA为圆O的切线,∴∠PAB=∠ACP,
又∠P为公共角,∴△PAB~△PCA,
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{PA}{PC}$(4分)
解:(2)∵PA为圆O的切线,BC是过点O的割线,
∴PA2=PB•PC,∴PC=40,BC=30,
又∠CAB=90°,∴AC2+AB2=BC2=900,
又由(1)知$\frac{AB}{AC}=\frac{PA}{PC}=\frac{1}{2}$,∴$AC=12\sqrt{5}$,$AB=6\sqrt{5}$,
∵AE是∠BAC的角平分线,且∠AEC=∠ABD,∴△AEC~△ABD,
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AC}$,
∴$AD•AE=AB•AC=6\sqrt{5}×12\sqrt{5}=360$.(10分)
点评 本题考查两组线段比值相等的证明,考查两线段乘积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意弦切角定理和切割线定理的合理运用.
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A. | {-1,1} | B. | {-1,3} | C. | {3,1,-1} | D. | {1,3} |
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A. | [0,+∞) | B. | (0,e] | C. | (-∞,-1] | D. | (-∞,-e) |
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