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    若曲线y=x3-2ax2+2ax上任意点处的切线的倾斜角都是锐角，求整数a的值．
    分析：求出曲线解析式y=x3-2ax2+2ax的导函数，即为曲线在任意点处切线的斜率，由切线得到倾斜角恒为锐角得到切线的斜率恒大于0，根据切线的斜率为关于x的二次函数，且为开口向上的抛物线，得到根的判别式小于0，列出关于a的不等式，求出不等式解集中的整数解即为a的值．
    解答：解：∵曲线y=x3-2ax2+2ax，
    ∴该曲线上任意点处切线的斜率k=y′=3x2-4ax+2a．
    又∵切线的倾斜角都是锐角，
    ∴k＞0恒成立，即3x2-4ax+2a＞0恒成立．
    ∴△=（-4a）2-4×3×2a=16a2-24a＜0，
    ∴0＜a＜
    3
    2
    ．
    又∵a∈Z，
    ∴a=1．
    点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，掌握不等式恒成立时所满足的条件，是一道中档题．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知f（x）=x3+ax2-（2a+3）x+a2（a∈R）．
    （1）若曲线y=f（x）在x=-1处的切线与直线2x-y-1=0平行，求a的值；
    （2）当a=-2时，求f（x）的单调区间．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=x3+ax2-（2a+3）x+a2（a∈R）
    （1）若曲线y=f（x）在x=-1处的切线与直线2x-y-1=0平行，求a的值
    （2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上不单调，求实数a的取值范围；
    （3）求所有的实数a，使得f（x）＞0对x∈[-1，1]恒成立．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    命题：
    （1）若f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，其定义域是[a-1，2a]，则f（x）在区间(-
    2
    3
    ，-
    1
    3
    )    是减函数．
    （2）如果一个数列{an}的前n项和Sn=abn+c，(a≠0，b≠1，c≠1)则此数列是等比数列的充要条件是a+c=0．
    （3）曲线y=x3+x+1过点（1，3）处的切线方程为：4x-y-1=0．
    （4）已知集合P∈{（x，y）|y=k}，Q∈{（x，y）|y=ax+1，a＞0且a≠1}，若P∩Q只有一个子集．则k＜1．
    以上四个命题中，正确命题的序号是
    （1）（2）
    （1）（2）
    ．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知函数f（x）=x3+ax2-（2a+3）x+a2（a∈R）
    （1）若曲线y=f（x）在x=-1处的切线与直线2x-y-1=0平行，求a的值
    （2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上不单调，求实数a的取值范围；
    （3）求所有的实数a，使得f（x）＞0对x∈[-1，1]恒成立．

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年四川省雅安中学高三（下）段考数学试卷（文科）（解析版） 题型：填空题

    命题：
    （1）若f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，其定义域是[a-1，2a]，则f（x）在区间是减函数．
    （2）如果一个数列{an}的前n项和则此数列是等比数列的充要条件是a+c=0．
    （3）曲线y=x3+x+1过点（1，3）处的切线方程为：4x-y-1=0．
    （4）已知集合P∈{（x，y）|y=k}，Q∈{（x，y）|y=ax+1，a＞0且a≠1}，若P∩Q只有一个子集．则k＜1．
    以上四个命题中，正确命题的序号是    ．

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