Question

【题目】2016年双十一期间，某电子产品销售商促销某种电子产品，该产品的成本为2元/件，通过市场分析，双十一期间该电子产品销售量y（单位：千件）与销售价格x（单位：元）之间满足关系式：y= +2x2﹣35x+170（其中2＜x＜8，a为常数），且已知当销售价格为3元/件时，该电子产品销售量为89千件． （Ⅰ）求实数a的值及双十一期间销售该电子产品获得的总利润L（x）；
（Ⅱ）销售价格x为多少时，所获得的总利润L（x）最大？并求出总利润L（x）的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因为x=3时，y=89，y= +2x2﹣35x+170（其中2＜x＜8，a为常数），所以a+83=89，故a=6； ∴该商品每日的销售量y= +2x2﹣35x+170，
∴商场每日销售该商品所获得的利润为L（x）=（x﹣2）（ +2x2﹣35x+170）
（Ⅱ）L（x）=6+（x﹣2）（2x2﹣35x+170），2＜x＜8．
从而，L′（x）=6（x﹣5）（x﹣8），
于是，当x变化时，f（x）、f′（x）的变化情况如下表：

x	（2，5）	5	（5，8）
f'（x）	+	0	﹣
f（x）	单调递增	极大值141	单调递减

由上表可得，x=5是函数f（x）在区间（2，8）内的极大值点，也是最大值点．
所以，当x=5时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于141．
答：当销售价格为5元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大
【解析】（Ⅰ）由x=3时，y=89，代入函数的解析式，解关于a的方程，可得a值；商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数；（Ⅱ）用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值．