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已知函数y=b+ax2+2x,(a,b是常数a>0且a≠1)在区间[-
3
2
,0
]上有ymax=3,ymin=
5
2

(1)求a,b的值;
(2)若a∈N*当y>10时,求x的取值范围.
分析:(1)先求出t=x2+2x的值域,然后分a>1,0<a<1两种情况进行讨论,根据单调性可得函数的最值,由已知可得方程组,解出即可;
(2)由(1)及a∈N*可得a,b值,代入解不等式即可;
解答:解:(1)x∈[-
3
2
,0],t=x2+2x=(x+1)2-1
的值域为[-1,0],即t∈[-1,0],
若a>1,函数y=at在R上单调递增,
所以,at∈[
1
a
,1]
,则b+ax2+2x∈[b+
1
a
,b+1]

所以
b+
1
a
=
5
2
b+1=3
a=2
b=2

若0<a<1,函数y=at在R上单调递减,at∈[1,
1
a
]
,则b+ax2+2x∈[b+1,b+
1
a
]

所以
b+
1
a
=3
b+1=
5
2
a=
2
3
b=
3
2

所以a,b的值为
a=
2
3
b=
3
2
a=2
b=2

(2)由(1)可知a=2,b=2,
2+2x2+2x>10,即x2+2x>3⇒x2+2x-3>0,
解得x>1或x<-3,
所以x的取值范围为{x|x>1或x<-3}.
点评:本题考查复合函数的单调性、函数的最值,属中档题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数y=x+
a
x
有如下性质:如果常数a>0,那么该函数在(0,
a
]
上是减函数,在[
a
,+∞)
上是增函数.
(1)如果函数y=x+
2b
x
(x>0)
在(0,4]上是减函数,在[4,+∞)上是增函数,求b的值.
(2)设常数c∈[1,4],求函数f(x)=x+
c
x
(1≤x≤2)
的最大值和最小值;
(3)当n是正整数时,研究函数g(x)=xn+
c
xn
(c>0)
的单调性,并说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数y=x+
a
x
有如下性质:如果常数a>0,那么该函数在(0,
a
]上是减函数,在[
a
,+∞)上是增函数.
(Ⅰ)如果函数y=x+
2b
x
(x>0)的值域为[6,+∞),求b的值;
(Ⅱ)研究函数y=x2+
c
x2
(常数c>0)在定义域内的单调性,并说明理由;
(Ⅲ)对函数y=x+
a
x
和y=x2+
a
x2
(常数a>0)作出推广,使它们都是你所推广的函数的特例.研究推广后的函数的单调性(只须写出结论,不必证明),并求函数F(x)=(x2+
1
x
n+(
1
x2
+x
n(n是正整数)在区间[
1
2
,2]上的最大值和最小值(可利用你的研究结论).

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数y=x+
a
x
旦(a>0)有如下的性质:在区间(0,
a
]上单调递减,在[
a
,+∞)上单调递增.
(1)如果函数f(x)=x+
2b
x
在(0,4]上单调递减,在[4,+∞)上单调递增,求常数b的值.
(2)设常数a∈[l,4],求函数y=x+
a
x
在x∈[l,2]的最大值.

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