Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，P为BC边的中点，SB与平面ABCD所成的角为45°，且AD=2，SA=1．
（Ⅰ）求证：PD⊥平面SAP，
（Ⅱ）求二面角A-SD-P的大小的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）用勾股定理证明AP⊥PD，由 SA⊥底面ABCD，可得SA⊥PD，所以PD⊥平面SAP．
（Ⅱ）设Q为AD的中点，过Q作QR⊥SD，由三垂线定理可知，∠PRQ是二面角A-SD-P的平面角．由三角形相似求得SD，从而求得QR，利用 tan∠PRQ=

PQ

QR

求出结果．

解答：证明：（Ⅰ）因为SA⊥底面ABCD，所以，∠SBA是SB与平面ABCD所成的角．
由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1易求得，AP=PD=

2

，
又因为AD=2，所以AD²=AP²+PD²，所以AP⊥PD．
因为 SA⊥底面ABCD，PD?平面ABCD，所以，SA⊥PD，
由于SA∩AP=A，所以PD⊥平面SAP．
（Ⅱ）设Q为AD的中点，连接PQ，由于SA⊥底面ABCD，且SA?平面SAD，
则平SAD⊥平面PAD．因为PQ⊥AD，所以PQ⊥平面SAD，过Q作QR⊥SD，垂足为R，连接PR，
由三垂线定理可知PR⊥SD，所以，∠PRQ是二面角A-SD-P的平面角．
容易证明△DRQ∽△DAS，则

QR

SA

=

DQ

SD

因为DQ=1，SA=1，SD=

5

，
所以QR=

DQ

SD

•SA=

1

5

．（10分）在Rt△PRQ中，因为PQ=AB=1，
所以tan∠PRQ=

PQ

QR

=

5

所以二面角A-SD-P的大小的正切值为

5

．

点评：本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，求二面角的平面角，求出RQ的长度是解题的难点．