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已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)不为常函数,有以下命题:
①函数g(x)=f(x)+f(-x)一定是偶函数;
②若对任意x∈R都有f(x)+f(2-x)=0,则f(x)是以2为周期的周期函数;
③若f(x)是奇函数,且对任意x∈R都有f(x)+f(2+x)=0,则f(x)的图象关于直线x=1对称;
④对任意x1,x2∈R且x1≠x2,若数学公式恒成立,则f(x)为(-∞,+∞)上的增函数.
其中正确命题的序号是________.

①③④
分析:①根据偶函数定义可得g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x),故①可判断;
②若对任意x∈R都有f(x)+f(2-x)=0,可得f(x+2)=-f(-x),故②错误;
③由对任意x∈R都有f(x)+f(2+x)=0,可知f(2+x)=-f(x),根据f(x)是奇函数,可得f(-x)=-f(x),从而可判断f(x)的图象关于直线x=1对称;
④利用函数单调性的定义,结合,可知函数f(x)为(-∞,+∞)上的增函数.
解答:①∵g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x)
∴函数g(x)=f(x)+f(-x)一定是偶函数,故①正确;
②若对任意x∈R都有f(x)+f(2-x)=0,∴f(x)=-f(2-x),∴f(x+2)=-f(-x),f(x)不是以2为周期的周期函数,故②错误;
③∵对任意x∈R都有f(x)+f(2+x)=0,∴f(2+x)=-f(x)
∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x)
∴f(2+x)=f(-x)
∴f(x)的图象关于直线x=1对称;
④设任意x1,x2∈R且x1<x2,∴x1-x2<0,

∴f(x1)-f(x2)<0
∴f(x1)<f(x2
∴函数f(x)为(-∞,+∞)上的增函数.
点评:本题以函数为载体,主要考查函数的奇偶性,周期性,对称性及函数的单调性,解题时应一一判断.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=log3
3
x
1-x
,M(x1y1),N(x2y2)
是f(x)图象上的两点,横坐标为
1
2
的点P满足2
OP
=
OM
+
ON
(O为坐标原点).
(Ⅰ)求证:y1+y2为定值;
(Ⅱ)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
,其中n∈N*,且n≥2,求Sn
(Ⅲ)已知an=
1
6
,                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
,n≥2
,其中n∈N*,Tn为数列{an}的前n项和,若Tn<m(Sn+1+1)对一切n∈N*都成立,试求m的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

下列说法正确的有(  )个.
①已知函数f(x)在(a,b)内可导,若f(x)在(a,b)内单调递增,则对任意的?x∈(a,b),有f′(x)>0.
②函数f(x)图象在点P处的切线存在,则函数f(x)在点P处的导数存在;反之若函数f(x)在点P处的导数存在,则函数f(x)图象在点P处的切线存在.
③因为3>2,所以3+i>2+i,其中i为虚数单位.
④定积分定义可以分为:分割、近似代替、求和、取极限四步,对求和In=
n
i=1
f(ξi)△x
中ξi的选取是任意的,且In仅于n有关.
⑤已知2i-3是方程2x2+px+q=0的一个根,则实数p,q的值分别是12,26.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=sin(2x-
π
6
),g(x)=sin(2x+
π
3
),直线y=m与两个相邻函数的交点为A,B,若m变化时,AB的长度是一个定值,则AB的值是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

(Ⅰ)已知函数f(x)=x3-x,其图象记为曲线C.
(i)求函数f(x)的单调区间;
(ii)证明:若对于任意非零实数x1,曲线C与其在点P1(x1,f(x1))处的切线交于另一点P2(x2,f(x2)),曲线C与其在点P2(x2,f(x2))处的切线交于另一点P3(x3,f(x3)),线段P1P2,P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积记为S1,S2.则
S1S2
为定值;
(Ⅱ)对于一般的三次函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),请给出类似于(Ⅰ)(ii)的正确命题,并予以证明.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=x3-ax+b存在极值点.
(1)求a的取值范围;
(2)过曲线y=f(x)外的点P(1,0)作曲线y=f(x)的切线,所作切线恰有两条,切点分别为A、B.
(ⅰ)证明:a=b;
(ⅱ)请问△PAB的面积是否为定值?若是,求此定值;若不是求出面积的取值范围.

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