①③④
分析:①根据偶函数定义可得g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x),故①可判断;
②若对任意x∈R都有f(x)+f(2-x)=0,可得f(x+2)=-f(-x),故②错误;
③由对任意x∈R都有f(x)+f(2+x)=0,可知f(2+x)=-f(x),根据f(x)是奇函数,可得f(-x)=-f(x),从而可判断f(x)的图象关于直线x=1对称;
④利用函数单调性的定义,结合
,可知函数f(x)为(-∞,+∞)上的增函数.
解答:①∵g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x)
∴函数g(x)=f(x)+f(-x)一定是偶函数,故①正确;
②若对任意x∈R都有f(x)+f(2-x)=0,∴f(x)=-f(2-x),∴f(x+2)=-f(-x),f(x)不是以2为周期的周期函数,故②错误;
③∵对任意x∈R都有f(x)+f(2+x)=0,∴f(2+x)=-f(x)
∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x)
∴f(2+x)=f(-x)
∴f(x)的图象关于直线x=1对称;
④设任意x
1,x
2∈R且x
1<x
2,∴x
1-x
2<0,
∵
∴f(x
1)-f(x
2)<0
∴f(x
1)<f(x
2)
∴函数f(x)为(-∞,+∞)上的增函数.
点评:本题以函数为载体,主要考查函数的奇偶性,周期性,对称性及函数的单调性,解题时应一一判断.