Question

某地外出务工人员有1000人，其中高中及以上学历的有800人，高中以下学历有200人，现用分层抽样的方法从该地外出务工人员中抽查100人，调查他们的月收入情况，从高中及以上学历人群中抽查结果和从高中以下学历人群中抽查结果分别如表1和表2．
表1：

月收入（单位元）	[1500，2000）	[2000，2500）	[2500，3000）	[3000，3500）
人数	8	16	x	24

表2：

月收入（单位元）	[1000，1500）	[1500，2000）	[2000，2500）	[2500，3000）	[3000，3500）
人数	4	8	3	y	2

（I）先确定x，y的值，再补齐图1、图2的频率分布直方图，并根据频率分布直方图分别估计样本数据的中位数所在的区间；
（II）（1）估计高中及以上学历外出务工人员月收入的平均值与高中以下外出务工人员月收入的平均值哪个更高；
（2）在抽查的100人中从高中以下学历月收入在2000～3000元之间的人员中，抽查两人了解其工作环境，求抽查的两人中至少有
1人月收入不少于2500元的概率．

Answer 1

解：（I） 每个个体被抽到的概率等于，故高中及以上学历外出务工人员抽取的人数为：800×=
80人，
高中及以下学历外出务工人员抽取的人数为：200×=20人，
由8+16+x+24=80，可得 x=32． 由 4+8+y+2=20 可得 y=3．
高中及以上学历外出务工人员月收入的频率分布直方图如下：

高中及以下学历外出务工人员月收入的频率分布直方图如下：
表一中前两个举行的面积等于0.1+0.2=0.3，第三个举行的面积等于 =0.4，故中位数在[2500，3000）内．
（II）（1）高中及以上学历外出务工人员月收入的平均值=
0.1×1750+0.2×2250+0.4×2750+0.3×3250=2700，
高中及以下学历外出务工人员月收入的平均值 =
0.2×1250+0.4×1750+0.15×2250+0.15×2750+0.1×3250=2025．
由＞，可得高中及以上学历外出务工人员月收入的平均值高．
（2）高中及以下学历外出务工人员月收入在2000至3000元之间的又6人，其中，2000至2500之间的有三人，
记为 A₁，A₂，A₃，2500至3000之间的有三人，记为 B₁，B₂，B₃，从这6人中抽取2人，
共有C₆²=15个基本事件，这两人中至少有一人月收入不少于2500元的共有C₃²+C₃¹•C₃¹=12个基本事件，
故所求事件的概率等于 =．
分析：（I）先求出每个个体被抽到的概率，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，
由此求出x，y的值，并画出频率分布直方图．
（II）（1）求出高中及以上学历外出务工人员月收入的平均值，再求出高中及以下学历外出务工人员月收入的平均值 ，由＞，可得高中及以上学历外出务工人员月收入的平均值高．
（2）从这6人中抽取2人，所有的基本事件共C₆²=15，所求的事件所含的基本事件共有C₃²+C₃¹•C₃¹=12
个，故所求事件的概率等于 =．
点评：本题考查分层抽样的定义，频率分布直方图，等可能事件的概率的求法，判断事件所含的基本事件的个数，
是解题的难点和关键．