Question

【题目】如图，在正三棱柱（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，是棱上一点．

（1）若分别是的中点，求证：平面；

（2）若是上靠近点的一个三等分点，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）连结交于点，连结，易知是的中点，然后利用中位线定理可使问题得证；（2）以为原点建立空间直角坐标系，然后求出相应点的坐标与向量，由此求得平面与平面的法向量，从而利用空间夹角公式求解．

试题解析：（1）连结交于点，连结，易知是的中点，

因为分别是的中点，所以，且，

所以四边形是平行四边形，所以．

因为平面平面，

所以平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，

则点，设平面的一个法向量为．

则由得，

令，得，

易知平面的一个法向量为，设二面角的大小为，则

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分