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已知f(x)=loga
1+x
1-x

(1)求f(x)的定义域
(2)证明f(x)为奇函数
(3)求使f(x)<0的x的取值范围.
考点:函数奇偶性的判断,函数的定义域及其求法,函数奇偶性的性质
专题:计算题,证明题,分类讨论,函数的性质及应用,不等式的解法及应用
分析:(1)求出对数的真数大于0,即可得到f(x)的定义域;
(2)判断定义域关于原点对称,计算f(-x),判断f(-x)与f(x)的关系,即可得到;
(3)讨论a>1,0<a<1,列出不等式组,解出即可得到.
解答: (1)解:由
1+x
1-x
>0得函数的定义域为(-1,1);
(2)证明:由于定义域关于原点对称,
f(-x)=loga
1-x
1+x
=loga
1+x
1-x
-1=-loga
1-x
1+x
=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
(3)解:由题意:当0<a<1时,有
-1<x<1
1+x
1-x
>1
 解得0<x<1; 
当a>1时,有
-1<x<1
1+x
1-x
<1
  解得-1<x<0.
综上,当0<a<1时,0<x<1;  当a>1时,-1<x<0.
点评:本题考查函数的奇偶性的判断,同时考查对数不等式的解法,考查分类讨论的思想方法,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=lnx+
a
x
(a>0)
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)设P(x0,y0)为函数f(x)图象上的任意一点,若当x0∈(0,3]时,点P处的切线的斜率k≤
1
2
恒成立,求实数a的最小值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
3
sinωπ•cos(ωx+
π
4
)+2sin2ωx+
1
2
,直线y=1-
2
2
与f(x)的图象交点之间的最短距离为π.
(1)求f(x)的解析式及其图象的对称中心;
(2)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若f(
A
2
+
π
8
)=
3
2
,c=4,a+b=4
2
,求△ABC的面积.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
ax,x≤0
log6x,x>0
,若f[f(
1
6
)]=
1
4
,则实数a等于(  )
A、
1
4
B、-
1
4
C、-4
D、4

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科目:高中数学 来源: 题型:

求值:tan10°+tan50°+
3
tan10°tan50°=
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

计算:
(1)|1+lg0.001|+
lg2
1
3
-4lg3+4
+lg6-lg0.02
(2)0.0081 
1
4
+(4 -
3
4
2+(
8
 -
4
3
-16 -
3
4

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科目:高中数学 来源: 题型:

设全集U={x|x是小于9的正整数},A={1,2,3},B={3,4,5,6},则∁U(A∪B)=(  )
A、{3,4,5,6,7,8}
B、{7,8,9}
C、{7,8}
D、{6,7,8,9}

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知直线a过P(0,-1),且与以A(2,3)、B(-3,2)为端点的线段相交,则直线a的斜率k的取值范围是(  )
A、(-∞,-1]∪[2,+∞)
B、(-∞,-1]
C、[2,+∞)
D、[-1,2]

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科目:高中数学 来源: 题型:

设实数m>0,n>0,m+n=400,求y=
4
m
+
9
n
的最小值,并指出此时m,n的值.

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