Question

19．四面体ABCD的各棱长均为2，且四个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（　　）

• A． 6π
• B． $\sqrt{6}π$
• C． $\frac{3}{2}π$
• D． 24π

Answer 1

分析 把四面体补成正方体，两者的外接球是同一个，求出正方体的棱长，然后求出正方体的对角线长，就是球的直径，即可求出表面积．

解答 解：将正四面体补成正方体，设正方体的棱长为a，
则由正四面体的边长即为正方体的面对角线长，
即有$\sqrt{2}$a=2，则有a=$\sqrt{2}$，
则有正方体的对角线长为：$\sqrt{3}$a=$\sqrt{6}$，
由球的直径即为正方体的对角线长，即2R=$\sqrt{6}$，
则此球的表面积为：S=4πR²=6π．
故选A．

点评 本题考查空间想象能力，将正四面体的外接球转化为正方体外接球，使得问题的难度得到降低，问题得到解决，注意正方体的对角线就是球的直径．