分析 设向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$,$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夹角为θ,两边平方,结合向量的平方即为模的平方,以及向量的数量积的定义,运用二次不等式恒成立的思想方法,由判别式小于等于0,即可得到所求夹角.
解答 解:设向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$,$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夹角为θ,
由|$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$|≤|$\overrightarrow{{e}_{1}}$-λ$\overrightarrow{{e}_{2}}$|,
两边平方可得,($\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$)2≤($\overrightarrow{{e}_{1}}$-λ$\overrightarrow{{e}_{2}}$)2,
即为$\overrightarrow{{e}_{1}}$2+$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$2≤$\overrightarrow{{e}_{1}}$2-2λ$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$+λ2$\overrightarrow{{e}_{2}}$2,
即有1+cosθ+$\frac{1}{4}$≤1-2λcosθ+λ2,
即为λ2-2λcosθ-cosθ-$\frac{1}{4}$≥0恒成立,
则判别式△≤0,即4cos2θ+4(cosθ+$\frac{1}{4}$)≤0,
即为(cosθ+$\frac{1}{2}$)2≤0,但(cosθ+$\frac{1}{2}$)2≥0,
则有cosθ+$\frac{1}{2}$=0,解得夹角θ=120°.
故答案为:120°.
点评 本题考查向量的数量积的定义和夹角的求法,考查向量的数量积的性质:向量的平方即为模的平方,运用平方法,结合二次不等式恒成立思想是解题的关键.
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A. | sinα=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$ | B. | cosα=$\frac{\sqrt{13}}{2}$ | C. | cosα=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$ | D. | tanα=$\frac{3}{2}$ |
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