Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣4x+a+3，g（x）=mx+5﹣2m
（1）当a=﹣3，m=0时，求方程f（x）﹣g（x）=0的解；
（2）若方程f（x）=0在[﹣1，1]上有实数根，求实数a的取值范围；
（3）当a=0时，若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=﹣3，m=0时，求方程f（x）﹣g（x）=0化为x2﹣4x﹣5=0，

解得：x=﹣1或x=5

（2）解：∵函数f（x）=x2﹣4x+a+3的对称轴是x=2，

∴f（x）在区间[﹣1，1]上是减函数，

∵函数在区间[﹣1，1]上存在零点，则必有：

，即 ，解得﹣8≤a≤0．

故所求实数a的取值范围为[﹣8，0]

（3）解：若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）=g（x2）成立，

只需函数y=f（x）的值域为函数y=g（x）的值域的子集．

f（x）=x2﹣4x+3，x∈[1，4]的值域为[﹣1，3]，

下面求g（x）=mx+5﹣2m的值域．

①当m=0时，g（x）=5﹣2m为常数，不符合题意舍去；

②当m＞0时，g（x）的值域为[5﹣m，5+2m]，要使[﹣1，3][5﹣m，5+2m]，

需 ，解得m≥6；

③当m＜0时，g（x）的值域为[5+2m，5﹣m]，要使[﹣1，3][5+2m，5﹣m]，

需 ，解得m≤﹣3．

综上，m的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪[6，+∞）

【解析】（1）直接把a=﹣3，m=0代入方程，求解一元二次方程得答案；（2）求出函数f（x）的对称轴，得到f（x）在区间[﹣1，1]上是减函数，由函数在区间[﹣1，1]上存在零点得不等式组 ，求解不等式组得实数a的取值范围；（3）把对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）=g（x2）成立转化为函数y=f（x）的值域为函数y=g（x）的值域的子集，然后求g（x）的值域得答案．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的零点的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根，函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点．