Question

16．当k为何值时，直线y=kx+k-2与抛物线y²=4x只有一个公共点？有两个公共点？没有公共点？

Answer 1

分析 设出直线方程代入抛物线方程整理可得k²x²+（2k²-4k-4）x+k²-4k+4=0（*）
（1）直线与抛物线只有一个公共点?（*）只有一个根
（2）直线与抛物线有2个公共点?（*）有两个根
（3）直线与抛物线没有一个公共点?（*）没有根

解答 解：由题意，直线y=kx+k-2代入抛物线方程整理可得k²x²+（2k²-4k-4）x+k²-4k+4=0（*）
（1）直线与抛物线只有一个公共点等价于（*）只有一个根
①k=0时，y=-2符合题意；
②k≠0时，△=（2k²-4k-4）²-4k²（k²-4k+4）=0，整理，得-k²+2k+1=0，
解得k=1±$\sqrt{2}$．
综上可得，k=1±$\sqrt{2}$或k=0；
（2）有两个公共点等价于（*）有2个根
由（1）得-k²+2k+1＞0且k≠0，∴1-$\sqrt{2}$＜k＜1+$\sqrt{2}$且k≠0；
（3）没有公共点等价于（*）没有根
由（1）得-k²+2k-1＜0且k≠0，∴k＞1+$\sqrt{2}$或k＜1-$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了由直线与抛物线的位置关系的求解参数的取值范围，一般的思路是把位置关系转化为方程解的问题，体现了转化的思想．