Question

在正三角形△ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，满足：AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1），将△AEF沿EF折成到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，连接A₁B，A₁P（如图2）
（1）求证：A₁E⊥平面BEP；
（2）求二面角B-A₁P-F的余弦值；
（3）求点F到平面A₁BP的距离．

Answer 1

分析：（1）不妨设正三角形ABC的边长为3，取BE中点D，连接DF．AE：EB=CF：FA=1：2，则AF=AD=2而∠A=60°，故△ADF是正三角形，由此能够证明A₁E⊥平面BEP．
（2）过F作FM⊥A₁P与M，连接QM，QF，由题设条件知△FCP是正三角形，由A₁E⊥平面BEP，知△A₁FP≌△A₁QP，从而∠A₁PF=∠A₁PQ，由此能求出二面角B-A₁P-F的余弦值．
（3）设E为原点，EB，EF，EA₁所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点F到平面A₁BP的距离．

解答：解：（1）不妨设正三角形ABC的边长为3
在图1中，取BE中点D，连接DF．AE：EB=CF：FA=1：2
∴AF=AD=2而∠A=60°，
∴△ADF是正三角形，又AE=DE=1，
∴EF⊥AD．
在图2中，A₁E⊥EF，BE⊥EF，
∴∠A₁EB为二面角A_1-EF-B的平面角．由
题设条件知此二面角为直二面角，A₁E⊥BE，又BE∩EF=E（2）
∴A₁E⊥平面BEF，即A₁E⊥平面BEP．
（2）在图3中，过F作FM⊥A₁P与M，连接QM，QF，
∵CP=CF=1，∠C=60°，
∴△FCP是正三角形，
∴PF=1．有PQ=

1

2

BP=1
∴PF=PQ①，
∵A₁E⊥平面BEP，EQ=EF=

3

，
∴A₁F=A₁Q，
∴△A₁FP≌△A₁QP从而∠A₁PF=∠A₁PQ②，
由①②及MP为公共边知△FMP≌△QMP，
∴∠QMP=∠FMP=90°，且MF=MQ，
从而∠FMQ为二面角B-A₁P-F的平面角．
在Rt△A₁QP中，A₁Q=A₁F=2，PQ=1，又∴A1P=

5

．
∵MQ⊥A₁P，∴MQ=

A1Q•PQ

A1P

=

2 5

5

∴MF=

2 5

5

，
在△FCQ中，FC=1，QC=2，∠C=60°，由余弦定理得QF=

3

，
在△FMQ中，cos∠FMQ=

MF2+MQ2-QF2

2MF•MQ

=-

7

8

．
∴二面角B-A₁P-F的余弦值为-

7

8

．
（3）不妨设正三角形ABC的边长为a，设E为原点，EB，EF，EA₁所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
BE=a，A₁E=

2

3

a，PF=FC=PC=

a

3

，EF=

2

3

3

a
∴A₁（0，0，

2

3

a），B（

a

3

，0，0），P（

a

3

，

2

3

3

a，0），F（0，

2

3

3

a，0），
∴

A1B

=（a，0，-

2

3

a），

A1P

=（

a

3

，

2

3

3

a，-

2

3

a），

PF

=（-

a

3

，0，0），
设平面A₁BP的法向量

n

=(x，y，z)，则

n

•

A1B

=0，

n

•

A1P

=0，
∴

3x-2z=0 x+2 3 y-2z=0

，解得

n

=（6，2

3

，9），
∴点F到平面A₁BP的距离d=

| PF • n |

| n |

=

2a

36+12+81

=

2 129

129

a．

点评：本小题主要考查线面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识，以及空间线面位置关系的证明、角和距离的计算等，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力．