Question

已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F₁，F₂且它们在第一象限的交点为P，△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值范围为（1，2），则该椭圆的离心率的取值范围是

1. A.
   （0，）
2. B.
   （，）
3. C.
   （，）
4. D.
   （，1）

Answer 1

C
分析：可设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），其离心率e₁，双曲线的方程为-=1（m＞0，n＞0），离心率为e₂，由e₁=，e₂=∈（1，2），由△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形，结合椭圆与双曲线的定义可求得a=m+2c，从而可求得答案．
解答：设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），其离心率为e₁，双曲线的方程为-=1（m＞0，n＞0），|F₁F₂|=2c，
∵有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形，
∴在椭圆中，|PF₁|+|PF₂|=2a，而|PF₂|=|F₁F₂|=2c，
∴|PF₁|=2a-2c；①
同理，在该双曲线中，|PF₁|=2m+2c；②
由①②可得a=m+2c．
∵e₂=∈（1，2），
∴＜=＜1，
又e₁==，
∴==+2∈（，3），
∴＜e₁＜．
故选C．
点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，考查等价转换的思想与运算能力，考查倒数关系的灵活应用，属于难题．