Question

设f（x）是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈（0，1）时，f（x）=log

1

2

（1-x），则函数f（x）在（1，2）上（　　）

• A、是减函数，且f（x）＞0
• B、是增函数，且f（x）＞0
• C、是增函数，且f（x）＜0
• D、是减函数，且f（x）＜0

Answer 1

分析：先求出函数f（x）在 （-1，0）上的解析式，再利用周期性求出函数f（x）在（1，2）上 的解析式，从而确定函数的单调性及函数的值域．

解答：解：设 x∈（-1，0），则-x∈（0，1），故 f（-x）=log

1

2

（1+x）．
又f（x）是定义在R上以2为周期的偶函数，故 f（x）=log

1

2

（1+x）．
再令 1＜x＜2，则-1＜x-2＜0，∴f（x-2）=log

1

2

[1+（x-2）]，
∴f（x）=log

1

2

[x-1]，
由1＜x＜2 可得 0＜x-1＜1，
故函数f（x）在（1，2）上是减函数，且f（x）＞0，
故选A．

点评：本题考查函数的单调性，奇偶性和周期性，以及求函数的解析式，求出函数f（x）在（1，2）上 的解析式，是解题的难点和关键．