Question

（2012•上高县模拟）如图，等腰△ABC的底边AB=6，高CD=3，点E是线段BD上异于点B、D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB．现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE=x，V（x）表示四棱锥P-ACFE的体积．
（1）证明：CD⊥平面APE；
（2）设G是AP的中点，试判断DG与平面PCF的关系，并证明；
（3）当x为何值时，V（x）取得最大值．

Answer 1

分析：（1）利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，即证EF⊥PE，利用EF⊥AB，可得EF⊥平面APE，再推导出CD∥EF，从而得到CD⊥平面APE．
（2）延长CF，AE交于点B，连接PB，由DG∥PB，能够推导出DG∥平面PCB．
（3）V（x）=

1

3

SACEF•PE=

1

6

(18x-x3)，0＜x＜3，利用导数的性质能求出当x为

6

时，V（x）取得最大值．

解答：解：（1）∵EF⊥AB，∴∠BEF=∠PEF=90°，故EF⊥PE，
∵EF⊥AB．AB∩PE=E，∴EF⊥平面APE．
∵等腰△ABC的底边AB=6，高CD=3，
∴CD∥EF，∴CD⊥平面APE．…（6分）
（2）DG∥平面PCB，证明如下：
延长CF，AE交于点B，连接PB，
则DG∥PB，
∵DG?平面PCB，PB?平面PCB，
∴DG∥平面PCB．
（3）V（x）=

1

3

SACEF•PE
=

1

3

×(

1

2

×6×3-

1

2

x2)•x
=

1

6

(18x-x3)，0＜x＜3
V(x)′=

1

6

(18-3x2)，令V（x）′=0，解得x=

6

．
∵x∈（0，

6

）时，V（x）是增函数；x∈（

6

，3）时，V（x）是减函数，
∴当x=

6

时，V(x)max=

1

6

[18

6

-(

6

)3]=2

6

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面位置关系的判断，考查四棱锥P-ACFE的体积最大值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．