Question

已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），且满足f（xy）=f（x）+f（y），f(

1

2

)=1如果对于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y），不等式f（-x）+f（3-x）≥-2的解集为（　　）

• A、[-1，0）∪（3，4]
• B、[-1，0）
• C、（3，4]
• D、[-1，4]

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由已知令x=y=1求得f（1）=0，再求f（2）=-1，即有f（4）=-2，原不等式f（-x）+f（3-x）≥-2即为f[-x（3-x）]≥f（4）．再由单调性即可得到不等式组，解出它们即可．

解答： 解：由于f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1则f（1）=2f（1），即f（1）=0，
则f（1）=f（2×

1

2

）=f（2）+f（

1

2

）=0，
由于f(

1

2

)=1，则f（2）=-1，
即有f（4）=2f（2）=-2，
不等式f（-x）+f（3-x）≥-2即为f[-x（3-x）]≥f（4）．
由于对于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y），
则f（x）在（0，+∞）上递减，
则原不等式即为

-x＞0 3-x＞0 -x(3-x)≤4

，即有

x＜0 x＜3 -1≤x≤4

，
即有-1≤x＜0，即解集为[-1，0）．
故选B．

点评：本题考查抽象函数及运用，考查函数的单调性和运用：解不等式，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于中档题．