Question

如图，在△ABC中，∠B=90°，BA=BC=1，点D、E分别在边AC、AB上，且ED∥BC，F是BC中点，则数量积

DE

•

DF

的最小值为

-

1

16

．

Answer 1

分析：设

AD

=λ

AC

，（0＜λ＜1），取

AC

，

AB

为基向量，表示出向量

DE

，

DF

，进而得到数量积

DE

•

DF

，利用二次函数的性质可得答案．

解答：解：由∠B=90°，BA=BC=1，得AC=

2

，
设

AD

=λ

AC

，（0＜λ＜1），
则

DE

=λ

CB

=λ（

AB

-

AC

），

DF

=

DC

+

CF

=（1-λ）

AC

+

1

2

CB

=（1-λ）

AC

+

1

2

（

AB

-

AC

）=（

1

2

-λ）

AC

+

1

2

AB

，
又

.

AC

•

AB

=

2

×1×cos45°=1，
所以

DE

•

DF

=λ（

AB

-

AC

）•[（

1

2

-λ）

AC

+

1

2

AB

]=λ2-

1

2

λ=(λ-

1

4

)2-

1

16

，
当λ=

1

4

时，

DE

•

DF

取最小值为-

1

16

，
故答案为：-

1

16

．

点评：本题考查平面向量数量积的运算、向量在几何中的应用，考查学生推理论证能力．