【题目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知侧面ABB1A1是菱形,侧面BCC1B1是正方形,点A1在底面ABC的投影为AB的中点D.
(1)证明:平面AA1B1B⊥平面BB1C1C;
(2)设P为B1C1上一点,且 ,求二面角A1﹣AB﹣P的正弦值.
【答案】
(1)证明:∵点A1在底面ABC的投影为AB的中点D,
∴A1D⊥平面ABC,则A1D⊥BC,
又∵侧面BCC1B1是正方形,∴B1B⊥BC,
∵B1B与A1D在平面ABB1A1上不平行,
∴BC⊥平面ABB1A1,
∴平面AA1B1B⊥平面BB1C1C
(2)解:如图所示,以点D为坐标原点建立空间直角坐标系,
不妨设菱形边长为2,得D(0,0,0),A(0,﹣1,0),B(0,1,0),
∵D为AB的中点,且有A1D⊥AB,∴AA1=A1B,
又∵平面ABB1A1为菱形,∴△A1AB为等边三角形,
从而 ,从而 ,
∴点A1的坐标为 ,
∵ ,∴ ,
又∵ ,∴ ,
设平面ABP的法向量为 ,
由 , ,
得 ,即 ,
令 ,则 ,y=0,∴ ,
同理求得平面ABB1A1的法向量 ,
∴ ,
∴ ,
从而二面角A1﹣AB﹣P的正弦值为 .
【解析】(1)由点A1在底面ABC的投影为AB的中点D,可得A1D⊥平面ABC,则A1D⊥BC,再由已知可得B1B⊥BC,由线面垂直的判定可得BC⊥平面ABB1A1 , 从而得到平面AA1B1B⊥平面BB1C1C;(2)以点D为坐标原点建立空间直角坐标系,设菱形边长为2,得到对应点的坐标,求出平面ABP与平面ABB1A1的法向量,由两法向量所成角的余弦值求得二面角A1﹣AB﹣P的正弦值.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用平面与平面垂直的判定的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某手机厂商推出一款6吋大屏手机,现对500名该手机用户(200名女性,300名男性)进行调查,对手机进行评分,评分的频数分布表如下:
女性用户 | 分值区间 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
频数 | 20 | 40 | 80 | 50 | 10 | |
男性用户 | 分值区间 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
频数 | 45 | 75 | 90 | 60 | 30 |
(Ⅰ)完成下列频率分布直方图,并指出女性用户和男性用户哪组评分更稳定(不计算具体值,给出结论即可);
(Ⅱ)根据评分的不同,运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户,在这20名用户中,从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户,求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望.
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【题目】某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍.实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图:
则下面结论中不正确的是
A. 新农村建设后,种植收入减少
B. 新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
C. 新农村建设后,养殖收入增加了一倍
D. 新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
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【题目】已知公比不为1的等比数列{an}的前5项积为243,且2a3为3a2和a4的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)若数列{bn}满足bn=bn﹣1log3an+2(n≥2且n∈N*),且b1=1,求数列 的前n项和Sn .
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【题目】已知曲线C1: (参数θ∈R),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为 ,点Q的极坐标为 .
(1)将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程,并求出点Q的直角坐标;
(2)设P为曲线C1上的点,求PQ中点M到曲线C2上的点的距离的最小值.
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【题目】某家电专卖店试销A、B、C三种新型空调,连续五周销售情况如表所示:
第一周 第二周 第三周 第四周 第五周
A型数量/台 12 8 15 22 18
B型数量/台 7 12 10 10 12
C型数量/台
(I)求A型空调平均每周的销售数量;
(Ⅱ)为跟踪调查空调的使用情况,从该家电专卖店第二周售出的A、B型空调销售记录中,随机抽取一台,求抽到B型空调的概率;
(III)已知C型空调连续五周销量的平均数为7,方差为4,且每周销售数量互不相同,求C型空调这五周中的最大销售数量。(只需写出结论)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆C: (a>b>0)的两个焦点为F1 , F2 , 离心率为 ,点A,B在椭圆上,F1在线段AB上,且△ABF2的周长等于4 .
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过圆O:x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线PM和PN与圆O交于点M,N,求△PMN面积的最大值.
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