【题目】如果从北大打车到北京车站去接人,聪明的专家一定会选择走四环。虽然从城中间直穿过去看上去很诱人,但考虑到北京的道路几乎总是正南正北的方向,事实上不会真有人认为这样走能抄近路。在城市中,专家估算两点之间的距离时,不会直接去测量两点之间的直线距离,而会去考虑它们相距多少个街区。在理想模型中,假设每条道路都是水平或者竖直的,那么只要你朝着目标走(不故意绕远路),不管你这样走,花费的路程都是一样的。出租车几何学(taxicab geometry),所谓的“出租车几何学”是由十九世纪的另一位真专家赫尔曼-闵可夫斯基所创立的。在出租车几何学中,点还是形如的有序实数对,直线还是满足的所有组成的图形,角度大小的定义也和原来一样。只是直角坐标系内任意两点,定义它们之间的一种“距离”:,请解决以下问题:
(1)定义:“圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形,求“圆周”上的所有点到点的“距离”均为的“圆”方程,并作出大致图像;
(2)在出租车几何学中,到两点、“距离”相等的点的轨迹称为线段的“垂直平分线”,已知点,,;
①写出在线段的“垂直平分线”的轨迹方程,并写出大致图像;
②求证:三边的“垂直平分线”交于一点(该点称为的“外心”),并求出的“外心”.
【答案】(1);(2),若,则;若,则;若,则;②证明略,“外心”
【解析】
(1)利用“圆”的概念,能够求出“圆周”上的所有点到点的“距离”均为的“圆”的方程;
(2)①由已知条件,得,由此能够求出线段的垂直平分线的轨迹方程并画出大致图象;
②设三角形“外心”坐标为,由结合绝对值的性质,求得点的坐标.
(1)“圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形,
“圆周”上的所有点到点的“距离”均为,
“圆”方程为:;
(2)①由题意知,设到两点距离相等的点的坐标为,
则.
(ⅰ)当时,去绝对值符号得:
整理得,显然或时,该方程无解.
当时,去绝对值符号得:,
整理得:,解得.
则此情况下,与的关系为.
(ⅱ)当时,去绝对值符号得
整理得
当时,去绝对值符号得:即
当时,去绝对值符号得:,舍去;
当时,去绝对值符号得:,舍去;
所以此情况下,与的关系为.
(ⅲ)当时,去绝对值符号得:,
整理得,显然或时,该方程无解.
当时,去绝对值符号得:,解得.
所以.
综上所述,到两点距离相等的坐标为的点的轨迹方程,即线段的垂直平分线的方程为:当时,;当时,;当时,.
②由题意知
由知到点距离相等的点的坐标为满足:
即,解得.
故线段的垂直平分线的方程为.
由知到点距离相等的点的坐标为满足:
解得:.
故线段的垂直平分线的方程为.
则线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的唯一交点坐标为.
由(2)①知,当时,
即线段的垂直平分线也经过点.
所以三边的“垂直平分线”交于一点,且.
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【题目】定义:区间,,,的长度均为,若不等式的解集是互不相交区间的并集,设该不等式的解集中所有区间的长度之和为,则( )
A. 当时,B. 当时,
C. 当时,D. 当时,
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【题目】(1)已知P是矩形ABCD所在平面上的一点,则有.试证明该命题.
(2)将上述命题推广到P为空间上任一点的情形,写出这个推广后的命题并加以证明.
(3)将矩形ABCD进一步推广到长方体,并利用(2)得到的命题建立并证明一个新命题.
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【题目】某单位共有10名员工,他们某年的收入如下表:
员工编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
年薪(万元) | 4 | 4.5 | 6 | 5 | 6.5 | 7.5 | 8 | 8.5 | 9 | 51 |
(1)求该单位员工当年年薪的平均值和中位数;
(2)已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系,某员工工作第一年至第四年的年薪分别为4万元、5.5万元、6万元、8.5万元,预测该员工第六年的年薪为多少?
附:线性回归方程中系数计算公式分别为:,,其中、为样本均值.
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【题目】为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校,,的相关人员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表(单位:人).
高校 | 相关人员 | 抽取人数 |
A | 18 | |
B | 36 | 2 |
C | 54 |
(1)求,;
(2)若从高校,抽取的人中选2人做专题发言,求这2人都来自高校的概率.
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【题目】选修:不等式选讲
已知函数f(x)=|2x+3|+|2x﹣1|.
(Ⅰ)求不等式f(x)<8的解集;
(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)≤|3m+1|有解,求实数m的取值范围.
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