Question

【题目】如图，正方形的边长为2，，分别为的中点，与交于点，将沿折起到的位置，使平面平面．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）判断线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在点，使平面，此时的值为.

【解析】

（Ⅰ）先证明平面，又因为平面，所以平面平面；（Ⅱ）因为两两垂直，所以，以为原点，建立空间直角坐标系，再利用向量法求二面角的余弦值；（Ⅲ）设（），利用向量法求得.所以存在点，使平面，此时的值为.

解：（Ⅰ）因为正方形中，，分别为的中点，

所以，.

所以.

所以.

又因为平面，

平面平面，

平面平面，

所以平面.

又因为平面，

所以平面平面.

（Ⅱ）因为两两垂直，所以，以为原点，建立空间直角坐标系，

如图，

则，，

所以，，

由（Ⅰ）知，是平面的一个法向量.

设平面的法向量为，

则，即，

令，则，.所以.

.

由图可知所求二面角为钝角，

所以二面角的余弦值为.

（Ⅲ）设（），

，

若使平面，则.

即，解得.

所以存在点，使平面，此时的值为.