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已知f(x)在(-1,1)上有定义,f(
1
2
)=-1,且满足x,y∈(-1,1)有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy

(1)证明:f(x)在(-1,1)上为奇函数;?
(2)对数列x1=
1
2
,xn+1=
2xn
1+xn2
,求f(xn);?
(3)求证
1
f(x1)
+
1
f(x2)
+…+
1
f(xn)
>-
2n+5
n+2
分析:(1)利用题中条件找出f(-x)=-f(x)即可
(2)找f(xn+1)与f(xn)的关系,得f(xn)的表达式
(3)利用等比数列的求和公式可得不等式的左边,再利用分离常数法把不等式的右边整理即可得结论
解答:(Ⅰ)证明:令x=y=0,∴2f(0)=f(0),∴f(0)=0
令y=-x,则f(x)+f(-x)=f(0)=0
∴f(x)+f(-x)=0∴f(-x)=-f(x)
∴f(x)为奇函数(4分)
(Ⅱ)解:f(x1)=f(
1
2
)=-1,f(xn+1)=f(
2xn
1+xn2
)=f(
xn+xn
1+xn•x n
)=f(xn)+f(xn)=2f(xn
f(xn+1)
f(xn)
=2即{f(xn)}是以-1为首项,2为公比的等比数列
∴f(xn)=-2n-1
(Ⅲ)解:
1
f(x1)
+
1
f(x2)
++
1
f(xn)
=(1+
1
2
+
1
22
++
1
2n-1
)
=-
1-
1
2n
1-
1
2
=-(2-
1
2n-1
)=-2+
1
2n-1
>-2

-
2n+5
n+2
=-(2+
1
n+2
)=-2-
1
n+2
<-2

1
f(x1)
+
1
f(x2)
++
1
f(xn)
>-
2n+5
n+2
点评:证明抽象函数的奇偶性,须利用函数奇偶性的定义,找准方向,巧妙赋值,合理,灵活变形,找出f(-x)与f(x)的关系.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知f(x)在(-1,1)上有定义,f(
1
2
)=1
,且满足x,y∈(-1,1)有f(x)-f(y)=f(
x-y
1-xy
)
.对数列{xn}有x1=
1
2
xn+1=
2xn
1+
x
2
n
(n∈N*)

(1)证明:f(x)在(-1,1)上为奇函数.
(2)求f(xn)的表达式.
(3)是否存在自然数m,使得对于任意n∈N*
1
f(x1)
+
1
f(x2)
+…+
1
f(xn)
m-8
4
成立?若存在,求出m的最小值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知f(x)在(-1,1)上有定义,f(
1
2
)=-1
且满足x,y∈(-1,1)时,有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)

(1)证明:f(x)在(-1,1)上为奇函数.
(2)数列{an}满足a1=
1
2
an+1=
2an
1+an2
,xn=f(an),求{xn}的通项公式.
(3)求证:1+f(
1
5
)+f(
1
11
)+…+f(
1
n2+3n+1
)=-f(
1
n+2
)

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科目:高中数学 来源:2007-2008学年重庆八中高三(下)第一次月考数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

已知f(x)在(-1,1)上有定义,,且满足x,y∈(-1,1)有.对数列{xn}有
(1)证明:f(x)在(-1,1)上为奇函数.
(2)求f(xn)的表达式.
(3)是否存在自然数m,使得对于任意n∈N*成立?若存在,求出m的最小值.

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已知f(x)在(-1,1)上有定义,,且满足x,y∈(-1,1)有.对数列{xn}有
(1)证明:f(x)在(-1,1)上为奇函数.
(2)求f(xn)的表达式.
(3)是否存在自然数m,使得对于任意n∈N*成立?若存在,求出m的最小值.

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