Question

在等边三角形ABC中，AB=a，O为△ABC的中心，过O的直线交AB于M，交AC于N，求

1

OM2

+

1

ON2

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：如图所示，建立直角坐标系．可得A(0，

3

2

a)，B(-

1

2

a，0)，C(

1

2

a，0)，O(0，

3 a

6

)．可得直线AB、AC的方程，设直线MN的斜率为k，则y=kx+

3

6

a．分别与直线AB、AC方程联立可得点M，N的坐标，再利用两点间的距离公式可得

1

OM2

+

1

ON2

关于k，a的表达式，利用斜率k的取值范围和反比例函数的单调性即可得出最大值和最小值

解答：解：如图所示，建立直角坐标系．
则A(0，

3

2

a)，B(-

1

2

a，0)，C(

1

2

a，0)，O(0，

3 a

6

)．
可得直线AB、AC的方程分别为

x

- 1 2 a

+

y

3 2 a

=1，

x

1 2 a

+

y

3 2 a

=1，
分别化为-x+

y

3

=

1

2

a，x+

y

3

=

1

2

a．
设直线MN的斜率为k，则y=kx+

3

6

a．(-

3

3

≤k≤

3

3

)．
联立

-x+ y 3 = 1 2 a y=kx+ 3 a 6

与

x+ y 3 = 1 2 a y=kx+ 3 a 6

，
解得M(

a

3 k-3

，

a( 3 k-1)

2(k- 3 )

)，N(

a

3+ 3 k

，

a( 3 k+1)

2( 3 +k)

)．
∴|OM|²=(

a

3 k-3

)2+[

a( 3 k-1)

2(k- 3 )

-

3 a

6

]2=

a2(1+k2)

3(k- 3 )2

，
|ON|²=(

a

3+ 3 k

)2+[

a( 3 k+1)

2( 3 +k)

-

3 a

6

]2=

a2(1+k2)

3( 3 +k)2

．
∴

1

|OM|2

+

1

|ON|2

=

a2(1+k2) 3(k- 3 )2 + a2(1+k2) 3( 3 +k)2

a2(1+k2) 3(k- 3 )2 • a2(1+k2) 3( 3 +k)2

=

6(3+k2)

a2(1+k2)

=

6

a2

(1+

2

1+k2

)，
∵-

3

3

≤k≤

3

3

，∴0≤k2≤

1

3

，∴

3

2

≤

2

1+k2

≤2．
∴

15

a2

≤

6

a2

(1+

2

1+k2

)≤

18

a2

．
∴

1

OM2

+

1

ON2

的最大值和最小值分别为

18

a2

，

15

a2

．
从图形上看：当MN∥BC时取得最小值，当MN与AC边上的中线重合时取得最大值．

点评：本题考查了正三角形的中心（重心）的性质、直线相交于直线方程的问题、两点间的距离公式、反比例函数的单调性等基础知识与基本方法，属于难题．