Question

【题目】三棱锥中，底面满足，，在面的射影为的中点，且该三棱锥的体积为，当其外接球的表面积最小时，P到面ABC的距离为_______.

Answer 1

【答案】3

【解析】

设AB＝a，棱锥的高为h，根据体积得出a与h的关系，根据勾股定理得出外接球半径R关于h的表达式，利用基本不等式得出R最小值时对应的h的值即可．

解：设AC的中点为D，连接BD，PD，则PD⊥平面ABC，

∵△ABC是等腰直角三角形，∴外接球的球心O在PD上，

设AB＝BC＝a，PD＝h，外接球半径OC＝OP＝R，

则OD＝，CDACa，

∵VP﹣ABC，∴a2，

∵CD2+OD2＝OC2，即（h﹣R）2a2＝R2，

∴R3，

当且仅当即h＝3时取等号，

∴当外接球半径取得最小值时，h＝3．

故答案为：3．