Question

运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择．它们的速度分别为50千米/小时，100千米/小时，500千米/小时，每千米的运费分别为a元、b元、c元，且b＜a＜c．又这批海鲜在运输过程中的损耗为500元/小时，若使用三种运输工具分别运输时各自的总费用（运费与损耗之和）互不相等，试确定使用哪种运输工具总费用最省．（题中字母均为正的已知量）

Answer 1

分析：要确定定使用哪种运输工具总费用最省，我们可以分别构造三个函数计算三种运输方式的费用，然后构造不等式，讨论三种运输方式下运输工具总费的大小关系，最小的即为最省的运输模式．

解答：解：设运输路程为S（千米），使用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时，
各自的总费用分别为y₁（元）、y₂（元）、y₃（元）．则由题意，
y1=aS+

S

v

m=(a+

m

v

)S，
y₂=(b+

m

2v

)S，
y₃=(C+

m

10v

)S
由a＞b，各字母均为正值，
所以y₁-y₂＞0，即y₂＜y₁．
由y₃-y₂=[（c-b）-

2m

5v

]S．
令y₃-y₂＞0，由c＞b及每字母都是正值，
得c＞b+

2m

5v

．
所以，当c＞b+

2m

5v

时y₂＜y₃，由y₂＜y₁，即y₂最小，
当b＜a＜c＜b+

2m

5v

时，y₃＜y₂＜y₁，y₃最小．
即当c＞b+

2m

5v

时，用火车运输总费用最省；当c＜b+

2m

5v

时，用飞机运输总费用最省；

点评：函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．